Estudio de curvatura e integración de una función

**a) Determine la abscisa de los puntos de inflexión de la función $f$ y los intervalos de concavidad y convexidad. Justifique que la función $f$ tiene un mínimo relativo en $x = 1$.** Los puntos de inflexión son aquellos donde la función cambia su curvatura (de cóncava a convexa o viceversa). Para localizarlos, buscamos los puntos donde la segunda derivada se anula o no existe. Como $f(x)$ es derivable en todos los reales, buscamos donde $f''(x) = 0$. $$f''(x) = 6x = 0 \implies x = 0$$ Para confirmar que es un punto de inflexión, debemos comprobar que existe un cambio de signo en $f''(x)$ al pasar por $x = 0$. ✅ **Resultado (abscisa del punto de inflexión):** $$\boxed{x = 0}$$

Analizamos el signo de $f''(x) = 6x$ en los intervalos definidos por la raíz $x = 0$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty)\\\hline f''(x) = 6x & - & 0 & +\\ \text{Curvatura} & \text{Cóncava (hacia abajo)} & \text{P.I.} & \text{Convexa (hacia arriba)} \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$, $f''(x) \lt 0$, por lo que la función es **cóncava** (o cóncava hacia abajo). - En $(0, +\infty)$, $f''(x) \gt 0$, por lo que la función es **convexa** (o cóncava hacia arriba). 💡 **Tip:** Recuerda que si $f''(x) \gt 0$, la función tiene forma de 'U' (convexa), y si $f''(x) \lt 0$, tiene forma de campana (cóncava). ✅ **Resultado (intervalos):** $$\boxed{\text{Cóncava en } (-\infty, 0) \text{ y Convexa en } (0, +\infty)}$$

Para que en $x = 1$ haya un mínimo relativo, deben cumplirse dos condiciones según el criterio de la segunda derivada: 1. $f'(1) = 0$ (condición de punto crítico). 2. $f''(1) \gt 0$ (condición de mínimo). El enunciado afirma que la recta tangente en $x = 1$ es **horizontal**. Esto implica que la pendiente es cero, es decir: $$f'(1) = 0$$ Calculamos ahora el valor de la segunda derivada en ese punto: $$f''(1) = 6(1) = 6$$ Como $f'(1) = 0$ y $f''(1) = 6 \gt 0$, queda justificado por el criterio de la segunda derivada que existe un **mínimo relativo** en $x = 1$. 💡 **Tip:** El criterio de la segunda derivada nos dice que si $f'(a)=0$, entonces si $f''(a)>0$ hay un mínimo, y si $f''(a)<0$ hay un máximo.

**b) Sabiendo, además, que la recta tangente en el punto de abscisa $x = 1$ es $y = 5$, calcule la expresión de la función $f$.** Si la recta tangente en $x = 1$ es la recta constante $y = 5$, obtenemos dos datos fundamentales sobre la función en ese punto: 1. La pendiente es $0$, por lo que $f'(1) = 0$ (dato ya conocido). 2. La función pasa por ese punto, es decir, el punto $(1, 5)$ pertenece a la gráfica: $f(1) = 5$. Partiremos de $f''(x)$ e integraremos sucesivamente para hallar $f(x)$.

Integramos la segunda derivada para obtener la expresión de la primera derivada: $$f'(x) = \int f''(x) \, dx = \int 6x \, dx = 6 \frac{x^2}{2} + C = 3x^2 + C$$ Usamos la condición $f'(1) = 0$ para hallar la constante $C$: $$f'(1) = 3(1)^2 + C = 0 \implies 3 + C = 0 \implies C = -3$$ Por tanto, la primera derivada es: $$\boxed{f'(x) = 3x^2 - 3}$$

Integramos la primera derivada para obtener $f(x)$: $$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (3x^2 - 3) \, dx = 3 \frac{x^3}{3} - 3x + K = x^3 - 3x + K$$ Usamos la condición $f(1) = 5$ para hallar la constante $K$: $$f(1) = (1)^3 - 3(1) + K = 5$$ $$1 - 3 + K = 5 \implies -2 + K = 5 \implies K = 7$$ Sustituyendo el valor de $K$, obtenemos la expresión final de la función. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f(x) = x^3 - 3x + 7}$$