Discusión de planos con parámetros

**a) Estudie para qué valores del parámetro $a$ los tres planos se cortan en un punto.** Para que tres planos se corten en un único punto, el sistema de ecuaciones formado por sus ecuaciones debe ser un **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. Escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$: $$\begin{pmatrix} 2 & a & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 2 & a+1 & a+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $A$ mediante la regla de Sarrus: $$\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & a & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 2 & a+1 & a+1 \end{vmatrix}$$ $$\det(A) = [2 \cdot a \cdot (a+1) + a \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot (a+1)] - [1 \cdot a \cdot 2 + a \cdot 1 \cdot (a+1) + 2 \cdot 1 \cdot (a+1)]$$ $$\det(A) = [2a^2 + 2a + 2a + a + 1] - [2a + a^2 + a + 2a + 2]$$ $$\det(A) = (2a^2 + 5a + 1) - (a^2 + 5a + 2)$$ $$\det(A) = a^2 - 1$$ 💡 **Tip:** Un sistema tiene solución única (SCD) si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.

Para que los tres planos se corten en un punto, el sistema debe ser Compatible Determinado, lo cual ocurre cuando $\text{rango}(A) = 3$. Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos: $$a^2 - 1 = 0 \implies a^2 = 1 \implies a = \pm 1$$ - Si **$a \neq 1$ y $a \neq -1$**, entonces $\det(A) \neq 0$. Por tanto, $\text{rango}(A) = 3 = \text{rango}(A^*) = n^{\circ}$ de incógnitas. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es Compatible Determinado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los planos se cortan en un punto para todo } a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}}$$

**b) Compruebe que para el caso $a = 1$ la interpretación geométrica del sistema formado por las ecuaciones de los tres planos es la que se muestra en la siguiente imagen.** Sustituimos $a = 1$ en las ecuaciones de los planos: - $\pi_1: 2x + y + z = 5$ - $\pi_2: x + y + z = 1$ - $\pi_3: 2x + 2y + 2z = 0 \implies x + y + z = 0$ Observamos la relación entre $\pi_2$ y $\pi_3$: Sus vectores normales son $\vec{n}_2 = (1, 1, 1)$ y $\vec{n}_3 = (1, 1, 1)$. Al ser iguales, los planos son **paralelos**. Como los términos independientes son diferentes ($1 \neq 0$), los planos son **paralelos estrictos**. Ahora analizamos $\pi_1$ respecto a los otros dos: El vector normal de $\pi_1$ es $\vec{n}_1 = (2, 1, 1)$. Comparamos con $\vec{n}_2$: $$\frac{2}{1} \neq \frac{1}{1}$$ No son proporcionales, por lo que $\pi_1$ **corta** a $\pi_2$ y, en consecuencia, también corta a $\pi_3$. 💡 **Tip:** Dos planos $Ax+By+Cz=D$ y $A'x+B'y+C'z=D'$ son paralelos si $(A,B,C) = k(A',B',C')$. Si ademas $D \neq kD'$, son paralelos estrictos.

La situación geométrica para $a = 1$ consiste en: 1. Dos planos paralelos entre sí ($\pi_2$ y $\pi_3$). 2. Un tercer plano ($\pi_1$) que es secante a ambos. Esta descripción coincide exactamente con la configuración de la imagen (dos planos horizontales paralelos atravesados por un plano oblicuo). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Configuración: } \pi_2 \parallel \pi_3 \text{ y } \pi_1 \text{ secante a ambos.}}$$