Continuidad y cálculo de áreas de una función a trozos

**a) Calcule los valores de $n$ y $m$ para que la función sea continua en todo el conjunto de los números reales.** La función $f(x)$ está definida mediante tres expresiones que son continuas en sus respectivos dominios (exponencial y polinómicas). El único problema de continuidad puede aparecer en los puntos de salto: $x = 0$ y $x = 2$. Para que sea continua en $x = 0$, deben coincidir el valor de la función y los límites laterales: 1. $f(0) = e^0 = 1$ 2. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} e^x = 1$ 3. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} \left(\frac{x^2}{4} + n\right) = n$ Para que exista el límite y coincida con el valor de la función, igualamos: $$n = 1$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

Para que sea continua en $x = 2$, deben coincidir los límites laterales en dicho punto: 1. $\lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2) = \frac{2^2}{4} + n = 1 + n$ 2. $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} \left(\frac{3x}{2} + m\right) = \frac{3(2)}{2} + m = 3 + m$ Igualamos ambas expresiones para asegurar la continuidad: $$1 + n = 3 + m$$ Sustituimos el valor hallado anteriormente $n = 1$: $$1 + 1 = 3 + m \implies 2 = 3 + m \implies m = -1$$ ✅ **Resultado (valores de parámetros):** $$\boxed{n = 1, \quad m = -1}$$

**b) Para el caso $n = -4$ y $m = -6$, calcule el área de la región limitada por la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = 4$.** Primero definimos la función $f(x)$ con los valores indicados en el intervalo $[0, 4]$: $$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{4} - 4 & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ \frac{3x}{2} - 6 & \text{si } 2 < x \le 4 \end{cases}$$ El área viene dada por la integral del valor absoluto de la función entre las rectas verticales: $$\text{Área} = \int_{0}^{4} |f(x)| \, dx$$ Debemos comprobar si la función cruza el eje $X$ (si tiene raíces) en el intervalo $[0, 4]$: - En $[0, 2]$, $\frac{x^2}{4} - 4 = 0 \implies x^2 = 16 \implies x = 4$ (fuera del intervalo). En este tramo $f(x)$ es siempre negativa (por ejemplo, $f(0) = -4$). - En $(2, 4]$, $\frac{3x}{2} - 6 = 0 \implies 3x = 12 \implies x = 4$ (es el extremo derecho). En este tramo $f(x)$ también es negativa (por ejemplo, $f(3) = 4.5 - 6 = -1.5$). Como la función es siempre $\le 0$ en $[0, 4]$, el área será: $$\text{Área} = - \int_{0}^{2} \left(\frac{x^2}{4} - 4\right) dx - \int_{2}^{4} \left(\frac{3x}{2} - 6\right) dx$$ 💡 **Tip:** El área siempre es positiva. Si la función está por debajo del eje $X$, la integral saldrá negativa, por lo que le cambiamos el signo.

Calculamos cada parte por separado usando la regla de Barrow. **Tramo 1:** $$\int_{0}^{2} \left(\frac{x^2}{4} - 4\right) dx = \left[ \frac{x^3}{12} - 4x \right]_{0}^{2} = \left( \frac{8}{12} - 8 \right) - (0) = \frac{2}{3} - 8 = \frac{2 - 24}{3} = -\frac{22}{3}$$ Su contribución al área es $|-22/3| = 22/3$. **Tramo 2:** $$\int_{2}^{4} \left(\frac{3x}{2} - 6\right) dx = \left[ \frac{3x^2}{4} - 6x \right]_{2}^{4} = \left( \frac{3(16)}{4} - 6(4) \right) - \left( \frac{3(4)}{4} - 6(2) \right)$$ $$= (12 - 24) - (3 - 12) = -12 - (-9) = -3$$ Su contribución al área es $|-3| = 3$. 💡 **Tip:** Recuerda la regla de Barrow: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, donde $F$ es una primitiva.

Sumamos los valores absolutos de ambas integrales: $$\text{Área Total} = \frac{22}{3} + 3 = \frac{22}{3} + \frac{9}{3} = \frac{31}{3} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{\text{Área} = \frac{31}{3} \approx 10.33 \text{ u}^2}$$ Se adjunta la representación gráfica de la región calculada: