Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $a$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} a & 7 & 5 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 7 & 5 & 0 \\ 1 & a & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Capelli**, que relaciona el rango de estas matrices con el número de incógnitas ($n=3$).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 7 & 5 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (a \cdot a \cdot 1) + (7 \cdot 1 \cdot 0) + (5 \cdot 1 \cdot 1) - [ (0 \cdot a \cdot 5) + (1 \cdot 1 \cdot a) + (1 \cdot 7 \cdot 1) ]$$ $$|A| = a^2 + 0 + 5 - (0 + a + 7) = a^2 - a - 2$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$a^2 - a - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Esto nos da dos valores: **$a = 2$** y **$a = -1$**. 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica cuándo el sistema tiene solución única (si $|A| \neq 0$).

Si $a \neq 2$ y $a \neq -1$, entonces el determinante $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es máximo: $$\text{rg}(A) = 3$$ Como la matriz ampliada $A^*$ es de dimensiones $3 \times 4$, su rango no puede ser mayor que 3, por lo que: $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = n \text{ (número de incógnitas)}$$ Según el Teorema de Rouché-Capelli, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una solución única para cada valor de $a$. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}, \text{ el sistema es SCD}}$$

Para $a = 2$, sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Analizamos la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 7 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \end{array}\right)$$ Calculamos el rango de $A$. Como el menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$, entonces **$\text{rg}(A) = 2$**. Ahora estudiamos el rango de $A^*$ comprobando el determinante de una submatriz $3 \times 3$ que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 7 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = [2(2)(-2) + 7(3)(0) + 0] - [0 + 2(3)(1) + (-2)(7)(1)] = -8 - (6 - 14) = -8 - (-8) = 0$$ Como todos los posibles menores de orden 3 son cero (puedes comprobar que las filas 1 y 2 sumadas no dan la 3, pero existe una combinación lineal), y $\text{rg}(A)=2$, tenemos que **$\text{rg}(A^*) = 2$**. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$, por el Teorema de Rouché-Capelli el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a = 2, \text{ el sistema es SCI}}$$

Para $a = -1$, $|A| = 0$. Analizamos la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 7 & 5 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & -2 \end{array}\right)$$ En $A$, el menor $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$, por lo que **$\text{rg}(A) = 2$**. Comprobamos el rango de $A^*$ con el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} -1 & 7 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = [(-1)(-1)(-2) + 0 + 0] - [0 + (-1)(3)(-1) + (-2)(7)(1)] = -2 - (3 - 14) = -2 - (-11) = 9 \neq 0$$ Al existir un menor de orden 3 no nulo en la ampliada, **$\text{rg}(A^*) = 3$**. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, por el Teorema de Rouché-Capelli el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a = -1, \text{ el sistema es SI}}$$

**b) Resuelva el sistema para el caso $a = 2$.** Como hemos visto en el apartado anterior, para $a=2$ el sistema es Compatible Indeterminado (infinitas soluciones). El sistema resultante es: $$\begin{cases} 2x + 7y + 5z = 0 \\ x + 2y + z = 3 \\ y + z = -2 \end{cases}$$ Dado que el $\text{rg}(A) = 2$, una de las ecuaciones es redundante. Podemos usar las dos últimas ecuaciones, que son linealmente independientes: $$\begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ y + z = -2 \end{cases}$$ Tomamos **$z = \lambda$** como parámetro ($|\lambda \in \mathbb{R}$): 1. De la segunda ecuación: $y = -2 - z \implies \mathbf{y = -2 - \lambda}$. 2. Sustituimos en la primera: $x + 2(-2 - \lambda) + \lambda = 3$. $x - 4 - 2\lambda + \lambda = 3$ $x - 4 - \lambda = 3 \implies \mathbf{x = 7 + \lambda}$. 💡 **Tip:** En un sistema SCI con rango 2 y 3 incógnitas, siempre debemos parametrizar una de las variables para expresar la solución general. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(x, y, z) = (7 + \lambda, -2 - \lambda, \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$