Geometría en el espacio: perpendicularidad y distancias

**a) Calcule la ecuación paramétrica de la recta que es perpendicular al plano $\pi$ y que lo corta en el mismo punto en el que lo corta la recta $r$. [1 punto]** Primero, obtenemos la expresión de la recta $r$ en ecuaciones paramétricas para encontrar el punto de corte $P = r \cap \pi$. De la recta $r: \begin{cases} x = 2 \\ y - z = 1 \end{cases}$, si hacemos $z = \lambda$, obtenemos: $$\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas coordenadas en la ecuación del plano $\pi: x - z = 3$: $$2 - \lambda = 3 \implies -\lambda = 1 \implies \lambda = -1$$ Sustituyendo $\lambda = -1$ en las paramétricas de $r$, el punto de intersección es: $$P = (2, 1 + (-1), -1) = (2, 0, -1)$$ 💡 **Tip:** Para hallar la intersección de una recta y un plano, lo más sencillo es sustituir las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano. $$\boxed{P(2, 0, -1)}$$

La recta que buscamos, llamémosla $s$, debe ser perpendicular al plano $\pi$. Por tanto, su vector director $\vec{v}_s$ debe ser proporcional al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. De la ecuación del plano $\pi: 1x + 0y - 1z - 3 = 0$, extraemos el vector normal: $$\vec{n}_\pi = (1, 0, -1)$$ Por tanto, tomamos como vector director de nuestra recta: $$\vec{v}_s = (1, 0, -1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano, su vector director y el vector normal del plano tienen la misma dirección.

Ya tenemos el punto $P(2, 0, -1)$ y el vector director $\vec{v}_s = (1, 0, -1)$. La ecuación paramétrica de la recta $s$ es: $$\begin{cases} x = 2 + \mu \\ y = 0 \\ z = -1 - \mu \end{cases}$$ donde $\mu \in \mathbb{R}$. ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{s : \begin{cases} x = 2 + \mu \\ y = 0 \\ z = -1 - \mu \end{cases}}$$

**b) Encuentre los puntos de $r$ que están a una distancia de $\sqrt{8}$ unidades del plano $\pi$. [1 punto]** Un punto genérico $Q$ de la recta $r$ tiene la forma: $$Q(2, 1 + \lambda, \lambda)$$ Queremos encontrar los valores de $\lambda$ tales que la distancia de $Q$ al plano $\pi: x - z - 3 = 0$ sea $\sqrt{8}$. Aplicamos la fórmula proporcionada en la nota: $$d(Q, \pi) = \frac{|Ax_Q + By_Q + Cz_Q + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituyendo los valores: $$\frac{|1 \cdot 2 + 0 \cdot (1 + \lambda) - 1 \cdot \lambda - 3|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \sqrt{8}$$ Simplificamos la expresión: $$\frac{|2 - \lambda - 3|}{\sqrt{2}} = \sqrt{8} \implies \frac{|-1 - \lambda|}{\sqrt{2}} = \sqrt{8}$$ 💡 **Tip:** El valor absoluto $|-1 - \lambda|$ es lo mismo que $|1 + \lambda|$. Esto facilitará los cálculos.

Multiplicamos ambos miembros por $\sqrt{2}$: $$|-1 - \lambda| = \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4$$ Esto nos da dos posibles casos por la definición de valor absoluto: **Caso 1:** $$-1 - \lambda = 4 \implies -\lambda = 5 \implies \lambda = -5$$ **Caso 2:** $$-1 - \lambda = -4 \implies -\lambda = -3 \implies \lambda = 3$$ 💡 **Tip:** Una ecuación del tipo $|x| = a$ siempre genera dos soluciones: $x = a$ y $x = -a$.

Sustituimos los valores de $\lambda$ obtenidos en las coordenadas del punto genérico $Q(2, 1 + \lambda, \lambda)$: Para $\lambda = -5$: $$Q_1 = (2, 1 - 5, -5) = (2, -4, -5)$$ Para $\lambda = 3$: $$Q_2 = (2, 1 + 3, 3) = (2, 4, 3)$$ ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{Q_1(2, -4, -5) \text{ y } Q_2(2, 4, 3)}$$