Optimización del coste de un marco rectangular

Para resolver este problema de optimización, empezamos definiendo las variables que representan las dimensiones del rectángulo: - Sea $x$ la longitud de los **lados horizontales** (en metros). - Sea $y$ la longitud de los **lados verticales** (en metros). Sabemos que el área del rectángulo es de $2\text{ m}^2$, por lo que la relación entre las variables (ecuación de ligadura) es: $$x \cdot y = 2 \implies y = \frac{2}{x}$$ El coste total del marco ($C$) vendrá dado por la suma del coste de los dos lados horizontales y los dos lados verticales: $$C = 2 \cdot (7,5 \cdot x) + 2 \cdot (12,5 \cdot y)$$ $$C = 15x + 25y$$ Sustituimos $y$ en la función del coste para que dependa de una sola variable: $$C(x) = 15x + 25\left(\frac{2}{x}\right) = 15x + \frac{50}{x}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre debemos identificar la función a minimizar (o maximizar) y usar los datos del enunciado para que esta dependa de una única variable.

Para encontrar el valor de $x$ que minimiza el coste, calculamos la primera derivada de $C(x)$ e igualamos a cero. Derivamos la función: $$C'(x) = 15 - \frac{50}{x^2}$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$15 - \frac{50}{x^2} = 0 \implies 15 = \frac{50}{x^2} \implies 15x^2 = 50$$ $$x^2 = \frac{50}{15} = \frac{10}{3}$$ Como $x$ representa una longitud, tomamos el valor positivo: $$x = \sqrt{\frac{10}{3}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{30}}{3} \approx 1,826 \text{ m}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $1/x$ es $-1/x^2$.

Debemos comprobar que el valor hallado corresponde a un mínimo relativo. Para ello, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$C''(x) = \left(15 - 50x^{-2}\right)' = 0 - 50(-2)x^{-3} = \frac{100}{x^3}$$ Para cualquier valor de $x \gt 0$, $C''(x) \gt 0$, lo que confirma que en $x = \frac{\sqrt{30}}{3}$ existe un **mínimo**. Ahora calculamos la otra dimensión $y$: $$y = \frac{2}{x} = \frac{2}{\frac{\sqrt{30}}{3}} = \frac{6}{\sqrt{30}} = \frac{6\sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{5} \approx 1,095 \text{ m}$$ ✅ **Dimensiones óptimas:** $$\boxed{x = \frac{\sqrt{30}}{3} \approx 1,83 \text{ m (horizontales)}, \quad y = \frac{\sqrt{30}}{5} \approx 1,10 \text{ m (verticales)}}$$

Para finalizar, calculamos el valor del coste mínimo sustituyendo $x = \frac{\sqrt{30}}{3}$ en la función $C(x)$: $$C\left(\frac{\sqrt{30}}{3}\right) = 15\left(\frac{\sqrt{30}}{3}\right) + \frac{50}{\frac{\sqrt{30}}{3}} = 5\sqrt{30} + \frac{150}{\sqrt{30}}$$ Racionalizando el segundo término: $$\frac{150}{\sqrt{30}} = \frac{150\sqrt{30}}{30} = 5\sqrt{30}$$ Por lo tanto: $$C = 5\sqrt{30} + 5\sqrt{30} = 10\sqrt{30} \approx 54,77 \text{ €}$$ ✅ **Coste mínimo:** $$\boxed{C = 10\sqrt{30} \approx 54,77 \text{ €}}$$