Área delimitada por curvas y el eje de abscisas

**a) Haga un esbozo de la región delimitada por sus gráficas y el eje de abscisas. Calcule las coordenadas del punto de intersección de $y = f(x)$ con $y = g(x)$.** Para hallar el punto de intersección entre las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = \frac{1}{x}$, igualamos ambas expresiones: $$x^2 = \frac{1}{x}$$ Multiplicamos por $x$ (sabiendo que $x \neq 0$): $$x^3 = 1 \implies x = \sqrt[3]{1} = 1.$$ Para obtener la coordenada $y$, sustituimos en cualquiera de las dos funciones: $$f(1) = 1^2 = 1.$$ El punto de intersección es: $$\boxed{P(1, 1)}$$

Para realizar el esbozo, analizamos el comportamiento de las funciones y los límites de la región: 1. **$f(x) = x^2$**: Es una parábola con vértice en $(0,0)$. En la región de interés ($x \ge 0$), es creciente. 2. **$g(x) = 1/x$**: Es una hipérbola. En el intervalo $[1, e]$, es decreciente, pasando de $g(1)=1$ a $g(e)=1/e$. 3. **Límites verticales**: El eje de ordenadas ($x=0$, donde $f(0)=0$) y la recta vertical $x = e$. 4. **Límite horizontal**: El eje de abscisas ($y = 0$). La región comienza en el origen $(0,0)$, sigue la curva $y=x^2$ hasta el punto $(1,1)$, y a partir de ahí sigue la curva $y=1/x$ hasta llegar a la recta $x=e$. 💡 **Tip:** Al dibujar, recuerda que $e \approx 2,718$, por lo que el límite derecho está a la derecha del punto de intersección $x=1$.

A continuación se presenta la representación gráfica de las funciones y el área sombreada que vamos a calcular:

**b) Calcule el área de la región descrita en el apartado anterior.** El área de la región se encuentra delimitada superiormente por dos funciones distintas que cambian en el punto de corte $x=1$. Por tanto, debemos dividir el cálculo en dos integrales definidas: 1. Desde $x = 0$ hasta $x = 1$, el techo es $f(x) = x^2$. 2. Desde $x = 1$ hasta $x = e$, el techo es $g(x) = \frac{1}{x}$. El área total es: $$A = \int_{0}^{1} x^2 \, dx + \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$$

Calculamos la integral de la parábola aplicando la regla de la potencia: $$I_1 = \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$I_1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \text{ u}^2.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ para $n \neq -1$.

Calculamos la integral de la hipérbola, cuya primitiva es el logaritmo neperiano: $$I_2 = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln|x| \right]_{1}^{e}$$ Aplicamos la Regla de Barrow: $$I_2 = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 \text{ u}^2.$$ 💡 **Tip:** $\ln(e) = 1$ porque $e^1 = e$, y $\ln(1) = 0$ porque $e^0 = 1$.

Sumamos ambas áreas para obtener el área total de la región: $$A = I_1 + I_2 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{1+3}{3} = \frac{4}{3} \text{ u}^2.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{4}{3} \text{ u}^2 \approx 1,33 \text{ u}^2}$$