Ecuación matricial e inversa de una matriz con parámetros

**a) Calcule para qué valores del parámetro $a$ se cumple la igualdad $M^2 - M - 2I = 0$, donde $I$ es la matriz identidad y $0$ es la matriz nula, ambas de orden 2.** Primero, calculamos $M^2$ multiplicando la matriz $M$ por sí misma: $$M^2 = \begin{pmatrix} 1 & a \\ a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & a \\ a & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + a \cdot a & 1 \cdot a + a \cdot 0 \\ a \cdot 1 + 0 \cdot a & a \cdot a + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+a^2 & a \\ a & a^2 \end{pmatrix}.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo en general y se realiza multiplicando filas por columnas.

Sustituimos $M^2$, $M$ e $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ en la expresión $M^2 - M - 2I = 0$: $$\begin{pmatrix} 1+a^2 & a \\ a & a^2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & a \\ a & 0 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ Operamos elemento a elemento: $$\begin{pmatrix} (1+a^2) - 1 - 2 & a - a - 0 \\ a - a - 0 & a^2 - 0 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2-2 & 0 \\ 0 & a^2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ Para que se cumpla la igualdad, todos los elementos resultantes deben ser cero. Esto nos lleva a la ecuación: $$a^2 - 2 = 0 \implies a^2 = 2.$$ Resolviendo para $a$: $$a = \pm\sqrt{2}.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = \sqrt{2}, \quad a = -\sqrt{2}}$$

**b) Utilizando la igualdad del apartado anterior, encuentre una expresión general para calcular la matriz inversa de la matriz $M$ y, a continuación, calcule la inversa de $M$ para el caso $a = \sqrt{2}$.** Partimos de la igualdad $M^2 - M - 2I = 0$. Para encontrar $M^{-1}$, debemos aislar la matriz identidad $I$ en un lado de la ecuación: $$M^2 - M = 2I.$$ Sacamos factor común la matriz $M$ por la izquierda (o derecha, ya que en este caso son polinomios de la misma matriz): $$M(M - I) = 2I.$$ Dividimos toda la expresión por $2$: $$M \cdot \left[ \frac{1}{2}(M - I) \right] = I.$$ Por la definición de matriz inversa ($M \cdot M^{-1} = I$), podemos concluir que la expresión entre corchetes es la inversa de $M$: $$M^{-1} = \frac{1}{2}(M - I).$$ 💡 **Tip:** Si una matriz cumple una ecuación polinómica, siempre podemos intentar despejar la identidad para hallar su inversa sin necesidad de calcular determinantes ni adjuntos.

Ahora calculamos el valor de $M^{-1}$ cuando $a = \sqrt{2}$ usando la fórmula obtenida: $$M = \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}.$$ Calculamos $M - I$: $$M - I = \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & -1 \end{pmatrix}.$$ Finalmente, multiplicamos por $\frac{1}{2}$: $$M^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}}$$