Estudio de continuidad, asíntotas y aplicación del Teorema de Bolzano

**a) Calcule su dominio y estudie su continuidad. ¿Tiene alguna asíntota vertical?** La función $f(x) = \frac{2x^3 - 5x + 4}{1 - x}$ es una función racional. El dominio de una función racional está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Igualamos el denominador a cero: $$1 - x = 0 \implies x = 1$$ Por tanto, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}$$ En cuanto a la **continuidad**, al ser una función racional, es continua en todos los puntos de su dominio. En el punto $x = 1$, la función presenta una discontinuidad de tipo inevitable de salto infinito, ya que el valor $x = 1$ no pertenece al dominio y anula el denominador pero no el numerador ($2(1)^3 - 5(1) + 4 = 1 \neq 0$). 💡 **Tip:** Recuerda que las funciones racionales son continuas en todo su dominio. Los puntos donde el denominador es cero son los candidatos a asíntotas verticales. $$\boxed{\text{Dominio: } \mathbb{R} \setminus \{1\}. \text{ Continua en } \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

Para comprobar si existe una asíntota vertical en $x = 1$, calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a 1: $$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{2x^3 - 5x + 4}{1 - x}$$ Evaluando el límite: $$\frac{2(1)^3 - 5(1) + 4}{1 - 1} = \frac{1}{0} = \pm \infty$$ Como el límite es infinito, confirmamos que existe una **asíntota vertical** en la recta $x = 1$. Podemos observar el comportamiento por los lados: - Por la izquierda ($x \to 1^-$): El denominador $1-x$ es ligeramente positivo, luego $f(x) \to +\infty$. - Por la derecha ($x \to 1^+$): El denominador $1-x$ es ligeramente negativo, luego $f(x) \to -\infty$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Asíntota vertical en } x = 1}$$

**b) Observe que $f(-2) = -\frac{2}{3}$, $f(0) = 4$ y $f(2) = -10$. Razone si, a partir de esta información, puede deducirse que el intervalo $(-2, 0)$ contiene un cero de la función.** Para aplicar el **Teorema de Bolzano** en un intervalo $[a, b]$, la función debe cumplir dos condiciones: 1. Ser continua en el intervalo cerrado $[a, b]$. 2. Tomar valores de signo opuesto en los extremos, es decir, $f(a) \cdot f(b) < 0$. Analizamos el intervalo $[-2, 0]$: - La función es continua en $[-2, 0]$ porque el único punto de discontinuidad es $x = 1$, que no pertenece a este intervalo. - Valores en los extremos: $f(-2) = -\frac{2}{3} < 0$ y $f(0) = 4 > 0$. Al cumplirse ambas condiciones, el Teorema de Bolzano garantiza que existe, al menos, un valor $c \in (-2, 0)$ tal que $f(c) = 0$. 💡 **Tip:** El Teorema de Bolzano es la herramienta principal para demostrar la existencia de raíces (ceros) sin necesidad de calcularlas exactamente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí se puede deducir la existencia de un cero en } (-2, 0)}$$

**¿Puede deducirse para el intervalo $(0, 2)$?** Analizamos el intervalo $[0, 2]$: - Valores en los extremos: $f(0) = 4 > 0$ y $f(2) = -10 < 0$. Hay cambio de signo. - Continuidad: La función **no es continua** en el intervalo $[0, 2]$ porque contiene el punto $x = 1$, donde la función tiene una asíntota vertical. Debido a que falla la hipótesis de continuidad, **no podemos aplicar el Teorema de Bolzano** directamente en el intervalo $(0, 2)$ para asegurar la existencia de un cero. El cambio de signo puede deberse al salto infinito en la asíntota y no necesariamente a que la función cruce el eje $X$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede deducir la existencia de un cero en } (0, 2) \text{ por la discontinuidad en } x=1}$$

**Encuentre un intervalo determinado por dos enteros consecutivos que contenga, como mínimo, un cero de esta función.** Sabemos que existe un cero en el intervalo $(-2, 0)$. Para encontrar un intervalo de enteros consecutivos, probamos con el valor entero intermedio $x = -1$: Calculamos $f(-1)$: $$f(-1) = \frac{2(-1)^3 - 5(-1) + 4}{1 - (-1)} = \frac{-2 + 5 + 4}{2} = \frac{7}{2} = 3,5$$ Ahora comparamos signos: - En $x = -2$, $f(-2) = -\frac{2}{3} < 0$. - En $x = -1$, $f(-1) = 3,5 > 0$. Como la función es continua en $[-2, -1]$ y hay cambio de signo entre sus extremos, aplicamos de nuevo el Teorema de Bolzano. Existe al menos un cero en el intervalo $(-2, -1)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Intervalo: } (-2, -1)}$$