Dron y trayectoria de mínima distancia a un plano

**a) Calcule la ecuación de la recta, en forma paramétrica, que debe seguir el dron. ¿Qué distancia tiene que recorrer hasta llegar al plano?** El punto más próximo de un plano a un punto exterior $P$ se encuentra siguiendo la dirección perpendicular al plano. Por tanto, la trayectoria del dron debe ser una recta $r$ que pase por $P$ y cuya dirección sea la del vector normal del plano $\pi$. Dada la ecuación del plano $\pi : 3x + 4z + 15 = 0$, podemos identificar sus coeficientes $(A, B, C)$ para obtener el vector normal $\vec{n}_{\pi}$: - $A = 3$ - $B = 0$ (ya que no hay término en $y$) - $C = 4$ Así, el vector normal es: $$\vec{n}_{\pi} = (3, 0, 4)$$ 💡 **Tip:** El vector normal a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es siempre $\vec{n} = (A, B, C)$.

La recta $r$ que debe seguir el dron pasa por el punto $P(2, -3, 1)$ y tiene como vector director $\vec{v}_r = \vec{n}_{\pi} = (3, 0, 4)$. La ecuación paramétrica de una recta se define como: $$\begin{cases} x = x_0 + v_1\lambda \\ y = y_0 + v_2\lambda \\ z = z_0 + v_3\lambda \end{cases}$$ Sustituyendo los datos de nuestro punto y vector: $$\begin{cases} x = 2 + 3\lambda \\ y = -3 + 0\lambda \\ z = 1 + 4\lambda \end{cases}$$ Simplificando, obtenemos la ecuación de la trayectoria: ✅ **Resultado (Ecuación de la recta):** $$\boxed{r : \begin{cases} x = 2 + 3\lambda \\ y = -3 \\ z = 1 + 4\lambda \end{cases}}$$

Para calcular la distancia que recorre el dron, usamos la fórmula proporcionada en el enunciado para el punto $P(2, -3, 1)$ y el plano $3x + 4z + 15 = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los valores: $$d(P, \pi) = \frac{|3(2) + 0(-3) + 4(1) + 15|}{\sqrt{3^2 + 0^2 + 4^2}}$$ $$d(P, \pi) = \frac{|6 + 0 + 4 + 15|}{\sqrt{9 + 0 + 16}} = \frac{|25|}{\sqrt{25}} = \frac{25}{5} = 5$$ La distancia que debe recorrer el dron es de **5 unidades**. ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d = 5 \text{ unidades}}$$

**b) Encuentre las coordenadas del punto del plano donde llegará el dron.** El punto de llegada, que llamaremos $Q$, es la intersección de la recta $r$ (trayectoria) y el plano $\pi$. Para hallarlo, sustituimos las expresiones de $x$, $y$ y $z$ de la recta en la ecuación del plano: Recta $r$: $x = 2 + 3\lambda$, $y = -3$, $z = 1 + 4\lambda$ Plano $\pi$: $3x + 4z + 15 = 0$ Sustitución: $$3(2 + 3\lambda) + 4(1 + 4\lambda) + 15 = 0$$

Resolvemos la ecuación para hallar el valor del parámetro $\lambda$: $$6 + 9\lambda + 4 + 16\lambda + 15 = 0$$ Sumamos los términos semejantes: $$(9 + 16)\lambda + (6 + 4 + 15) = 0$$ $$25\lambda + 25 = 0$$ $$25\lambda = -25 \implies \lambda = -1$$ Ahora, sustituimos $\lambda = -1$ en las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ para encontrar las coordenadas de $Q$: - $x = 2 + 3(-1) = 2 - 3 = -1$ - $y = -3$ - $z = 1 + 4(-1) = 1 - 4 = -3$ El dron llegará al punto $Q(-1, -3, -3)$. ✅ **Resultado (Punto de llegada):** $$\boxed{Q(-1, -3, -3)}$$