Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $k$. [1 punto]** Para discutir el sistema, representamos las ecuaciones en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & k^2 & 3 \\ 3 & 7 & 7 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & -1 \\ 1 & k^2 & 3 & 2k \\ 3 & 7 & 7 & k-3 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & k^2 & 3 \\ 3 & 7 & 7 \end{vmatrix} = (7k^2 + 27 + 14) - (6k^2 + 21 + 21)$$ $$|A| = (7k^2 + 41) - (6k^2 + 42) = k^2 - 1$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$k^2 - 1 = 0 \implies k^2 = 1 \implies k = 1, \quad k = -1$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica si el sistema tiene solución única o no. Si $|A| \neq 0$, el rango de $A$ es máximo.

Si $k \neq 1$ y $k \neq -1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que: $$\text{rg}(A) = 3$$ $$\text{rg}(A^*) = 3$$ Como el número de incógnitas es $n = 3$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**: $$\boxed{\text{Si } k \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si $k = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 3 & 2 \\ 3 & 7 & 7 & -2 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 3 = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ estudiando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 7 & -2 \end{vmatrix} = (-2 + 18 - 7) - (-3 + 14 - 6) = 9 - 5 = 4 \neq 0$$ Como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**: $$\boxed{\text{Si } k = 1, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

Si $k = -1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 3 & -2 \\ 3 & 7 & 7 & -4 \end{array}\right)$$ Como en el caso anterior, $\text{rg}(A) = 2$ ya que el menor de las dos primeras filas y columnas no depende de $k$ (siendo $k^2 = 1$). Estudiamos los menores de orden 3 de $A^*$: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} = (-4 - 18 - 7) - (-3 - 14 - 12) = -29 - (-29) = 0$$ Al ser todos los menores de orden 3 nulos (el de las tres primeras columnas es $|A|=0$), se cumple que $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt n=3$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**: $$\boxed{\text{Si } k = -1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$ 💡 **Tip:** Un sistema es compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones, lo cual ocurre cuando los rangos son iguales pero menores al número de incógnitas.

**b) Resuelva el sistema para el caso $k = -1$. [1 punto]** Para $k = -1$, el sistema es equivalente a usar solo dos ecuaciones (ya que el rango es 2). Tomamos las dos primeras: $$\begin{cases} x + 3y + 2z = -1 \\ x + y + 3z = -2 \end{cases}$$ Como tenemos 3 incógnitas y rango 2, necesitamos un parámetro libre. Sea $y = \lambda$: $$\begin{cases} x + 2z = -1 - 3\lambda \\ x + 3z = -2 - \lambda \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $x$: $$(x + 3z) - (x + 2z) = (-2 - \lambda) - (-1 - 3\lambda)$$ $$z = -2 - \lambda + 1 + 3\lambda = -1 + 2\lambda$$ Sustituimos $z$ en la segunda ecuación original: $$x + \lambda + 3(-1 + 2\lambda) = -2$$ $$x + \lambda - 3 + 6\lambda = -2$$ $$x + 7\lambda = 1 \implies x = 1 - 7\lambda$$ La solución general es: $$\boxed{\begin{cases} x = 1 - 7\lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 + 2\lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$