Optimización de la superficie impresa de una página

Para resolver este problema de optimización, primero identificamos las variables que definen las dimensiones de la página: - Sea $x$ la anchura total de la página en $\text{cm}$. - Sea $y$ la altura total de la página en $\text{cm}$. El enunciado nos indica que la superficie total de la página es de $600\text{ cm}^2$, lo que nos da la **ecuación de ligadura**: $$x \cdot y = 600 \implies y = \frac{600}{x}$$ Ahora definimos las dimensiones de la parte impresa restando los márgenes: - Anchura impresa: $x - 2 - 2 = x - 4$ - Altura impresa: $y - 3 - 2 = y - 5$ La función que queremos maximizar es el área de la superficie impresa $A$: $$A = (x - 4)(y - 5)$$ 💡 **Tip:** Siempre comienza identificando qué magnitud quieres optimizar (función objetivo) y qué relación hay entre las variables (restricción o ligadura).

Sustituimos la expresión de $y$ obtenida de la ligadura ($y = 600/x$) en la función del área impresa: $$A(x) = (x - 4) \left( \frac{600}{x} - 5 \right)$$ Desarrollamos la expresión para facilitar la derivación posterior: $$A(x) = x \cdot \frac{600}{x} - 5x - 4 \cdot \frac{600}{x} + 20$$ $$A(x) = 600 - 5x - \frac{2400}{x} + 20$$ $$A(x) = 620 - 5x - \frac{2400}{x}$$ **Dominio de la función:** Puesto que las dimensiones deben ser mayores que los márgenes, $x > 4$ y $y > 5$. Si $y > 5 \implies \frac{600}{x} > 5 \implies x < 120$. Por tanto, el dominio es $D = (4, 120)$.

Para hallar el máximo, calculamos la primera derivada de $A(x)$ e igualamos a cero: $$A'(x) = \frac{d}{dx} \left( 620 - 5x - 2400x^{-1} \right)$$ $$A'(x) = -5 + 2400x^{-2} = -5 + \frac{2400}{x^2}$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-5 + \frac{2400}{x^2} = 0 \implies 5 = \frac{2400}{x^2} \implies x^2 = \frac{2400}{5} = 480$$ Como $x$ representa una longitud, tomamos el valor positivo: $$x = \sqrt{480} = \sqrt{16 \cdot 30} = 4\sqrt{30} \approx 21.91\text{ cm}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $1/x$ es $-1/x^2$.

Para confirmar que $x = 4\sqrt{30}$ es un máximo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$A''(x) = \frac{d}{dx} \left( -5 + 2400x^{-2} \right) = -4800x^{-3} = -\frac{4800}{x^3}$$ Evaluamos en nuestro punto crítico: $$A''(4\sqrt{30}) = -\frac{4800}{(4\sqrt{30})^3}$$ Como $x$ es positivo, $A''(x) < 0$ para cualquier valor de $x$ en el dominio. Al ser negativa, confirmamos que en $x = 4\sqrt{30}$ hay un **máximo relativo**. Calculamos ahora la altura $y$: $$y = \frac{600}{x} = \frac{600}{4\sqrt{30}} = \frac{150}{\sqrt{30}}$$ Para simplificar, multiplicamos y dividimos por $\sqrt{30}$: $$y = \frac{150\sqrt{30}}{30} = 5\sqrt{30} \approx 27.39\text{ cm}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Anchura: } 4\sqrt{30} \approx 21.91\text{ cm}, \quad \text{Altura: } 5\sqrt{30} \approx 27.39\text{ cm}}$$