Distribución Normal: Tiempo de vida de ventiladores

Lo primero es definir la variable aleatoria y sus parámetros. Sea $X$ la variable que representa el tiempo de vida de un ventilador de CPU en meses. El enunciado nos indica que $X$ sigue una distribución normal con media $\mu = 18$ y desviación típica $\sigma = 3,6$. Por tanto: $$X \sim N(18, \, 3,6)$$ Para realizar cualquier cálculo de probabilidad en una distribución normal que no sea la estándar, debemos realizar el proceso de **tipificación**, utilizando la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite pasar de cualquier distribución $N(\mu, \sigma)$ a una $N(0, 1)$, lo que facilita el uso de las tablas de probabilidad estándar.

**a) Calcular la probabilidad de que funcione como mucho 16 meses.** Nos piden calcular $P(X \le 16)$. Procedemos a tipificar el valor $x = 16$: $$P(X \le 16) = P\left(Z \le \frac{16 - 18}{3,6}\right) = P\left(Z \le \frac{-2}{3,6}\right) \approx P(Z \le -0,56)$$ Como el valor es negativo, aplicamos la propiedad de simetría de la normal: $$P(Z \le -0,56) = P(Z \ge 0,56) = 1 - P(Z \le 0,56)$$ Buscamos en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor para $0,56$: $$1 - 0,7123 = 0,2877$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 16) = 0,2877}$$ 💡 **Tip:** "Como mucho" significa menor o igual $(\le)$. Al buscar en la tabla, si el valor es negativo, recuerda que $P(Z \le -a) = 1 - P(Z \le a)$ por simetría.

**b) Calcular la probabilidad de que funcione al menos 1 año.** Primero debemos unificar las unidades. Como la variable $X$ está en meses, convertimos el tiempo: **1 año = 12 meses**. Nos piden la probabilidad de que funcione al menos 12 meses, es decir, $P(X \ge 12)$. Tipificamos: $$P(X \ge 12) = P\left(Z \ge \frac{12 - 18}{3,6}\right) = P\left(Z \ge \frac{-6}{3,6}\right) \approx P(Z \ge -1,67)$$ Por la simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \ge -1,67) = P(Z \le 1,67)$$ Consultamos el valor directamente en la tabla de la $N(0,1)$ para $1,67$: $$P(Z \le 1,67) = 0,9525$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 12) = 0,9525}$$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de que las unidades coincidan con las de la media y la desviación típica (meses con meses).

**c) Calcular la probabilidad de que funcione entre 1 y 2 años.** Convertimos los años a meses: - 1 año = 12 meses - 2 años = 24 meses Buscamos $P(12 \le X \le 24)$. Tipificamos ambos límites: $$P\left(\frac{12 - 18}{3,6} \le Z \le \frac{24 - 18}{3,6}\right) = P(-1,67 \le Z \le 1,67)$$ Para calcular la probabilidad en un intervalo usamos la fórmula $P(a \le Z \le b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$: $$P(Z \le 1,67) - P(Z \le -1,67)$$ Como vimos antes, $P(Z \le -1,67) = 1 - P(Z \le 1,67)$, por lo que la expresión queda: $$P(Z \le 1,67) - (1 - P(Z \le 1,67)) = 2 \cdot P(Z \le 1,67) - 1$$ Sustituimos el valor de la tabla: $$2 \cdot (0,9525) - 1 = 1,9050 - 1 = 0,9050$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(12 \le X \le 24) = 0,9050}$$ 💡 **Tip:** En una distribución normal continua, es indiferente usar $\le$ o $\lt$, ya que la probabilidad en un punto exacto es cero.