Ángulo entre dos planos

**3. Hallar el ángulo que forman el plano $\pi \equiv 2x - y + z = 0$ y el plano que contiene a las rectas $r \equiv \begin{cases} x = 1 - t \\ y = t \\ z = t \end{cases}$ y $s \equiv \frac{x+1}{-2} = \frac{y}{0} = z - 1$** Primero, identificamos un punto y un vector director para cada recta. Para la recta $r$ (dada en paramétricas): - Vector director: $\vec{v}_r = (-1, 1, 1)$ - Punto: $P_r = (1, 0, 0)$ Para la recta $s$ (dada en forma continua): - Vector director: $\vec{v}_s = (-2, 0, 1)$ - Punto: $P_s = (-1, 0, 1)$ 💡 **Tip:** En la recta $s$, el denominador $0$ en la componente $y$ indica que el vector tiene componente $0$ en ese eje, y que la ecuación de la recta implica $y=0$.

Para que un plano contenga a dos rectas, el vector normal del plano ($\vec{n}_1$) debe ser perpendicular a los vectores directores de ambas rectas. Por tanto, calculamos el producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{v}_s$. $$\vec{n}_1 = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila: $$\vec{n}_1 = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_1 = \mathbf{i}(1 - 0) - \mathbf{j}(-1 - (-2)) + \mathbf{k}(0 - (-2))$$ $$\vec{n}_1 = (1, -1, 2)$$ 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores no paralelos. Su vector normal es siempre el producto vectorial de sus directores. $$\boxed{\vec{n}_1 = (1, -1, 2)}$$

El enunciado nos da el plano $\pi \equiv 2x - y + z = 0$. Su vector normal se extrae directamente de los coeficientes de las variables $x, y, z$: $$\vec{n} = (2, -1, 1)$$ Ahora tenemos los dos vectores normales necesarios para calcular el ángulo entre los planos.

El ángulo $\alpha$ que forman dos planos es el ángulo que forman sus vectores normales. Usamos la fórmula del producto escalar: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{n}_1|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{n}_1|}$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{n} \cdot \vec{n}_1 = (2)(1) + (-1)(-1) + (1)(2) = 2 + 1 + 2 = 5$$ Calculamos los módulos: $$|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$$ $$|\vec{n}_1| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$$ Sustituimos en la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{|5|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{5}{6}$$ Finalmente, calculamos el ángulo: $$\alpha = \arccos\left(\frac{5}{6}\right) \approx 33.56^\circ$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el ángulo entre dos planos se define siempre como el ángulo agudo, por eso usamos el valor absoluto en el numerador. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\alpha = \arccos\left(\frac{5}{6}\right) \approx 33.56^\circ}$$