Producto de matrices, invertibilidad e inversa con parámetros

**a) Encontrar los valores de $m$ para los que existe inversa de la matriz $C$** Primero debemos obtener la matriz $C$ realizando el producto $A \cdot B$. La matriz $A$ es de dimensión $2 \times 3$ y la matriz $B$ es $3 \times 2$, por lo que el resultado $C$ será una matriz cuadrada de dimensión $2 \times 2$. $$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & m \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ m & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento fila por columna: - $c_{11} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot m + m \cdot 0 = 1 + 2m$ - $c_{12} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + m \cdot 2 = 2 + 2m$ - $c_{21} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot m + (-1) \cdot 0 = 1 - m$ - $c_{22} = 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot 2 = 2 - 0 - 2 = 0$ Por tanto: $$\boxed{C = \begin{pmatrix} 1 + 2m & 2 + 2m \\ 1 - m & 0 \end{pmatrix}}$$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|C| \neq 0$). Calculamos el determinante de $C$: $$|C| = \begin{vmatrix} 1 + 2m & 2 + 2m \\ 1 - m & 0 \end{vmatrix} = (1 + 2m) \cdot 0 - (2 + 2m) \cdot (1 - m)$$ Desarrollamos el producto: $$|C| = 0 - (2 - 2m + 2m - 2m^2) = -(2 - 2m^2) = 2m^2 - 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para una matriz $2 \times 2$, el determinante es el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria: $ad - bc$.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $m$ que hacen que la matriz no sea invertible: $$2m^2 - 2 = 0 \implies 2m^2 = 2 \implies m^2 = 1 \implies m = \pm \sqrt{1}$$ Obtenemos los valores **$m = 1$** y **$m = -1$**. Para que la matriz $C$ tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero, por lo que: ✅ **Resultado (valores de m):** $$\boxed{\text{Existe } C^{-1} \text{ para todo } m \in \mathbb{R} \setminus \{1, -1\}}$$

**b) Calcular la matriz inversa de $C$ en el caso de $m = 2$** Sustituimos $m = 2$ en la expresión de la matriz $C$ obtenida en el apartado anterior: $$C = \begin{pmatrix} 1 + 2(2) & 2 + 2(2) \\ 1 - 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante para este valor específico de $m$: $$|C| = 2(2)^2 - 2 = 2(4) - 2 = 6$$ Como $6 \neq 0$, confirmamos que existe la inversa.

Para calcular $C^{-1}$ usamos la fórmula: $C^{-1} = \dfrac{1}{|C|} \text{Adj}(C^t)$. **1. Hallamos la matriz traspuesta $C^t$:** $$C^t = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}$$ **2. Hallamos la matriz adjunta de la traspuesta $\text{Adj}(C^t)$:** - $\alpha_{11} = +|0| = 0$ - $\alpha_{12} = -|6| = -6$ - $\alpha_{21} = -|-1| = 1$ - $\alpha_{22} = +|5| = 5$ $$\text{Adj}(C^t) = \begin{pmatrix} 0 & -6 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$$ **3. Aplicamos la fórmula final:** $$C^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 0 & -6 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Un truco rápido para la inversa de una matriz $2 \times 2$ es intercambiar los elementos de la diagonal principal, cambiar el signo de los de la secundaria y dividir todo por el determinante. ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{C^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ \frac{1}{6} & \frac{5}{6} \end{pmatrix}}$$