Área limitada por una parábola y una recta

**a) Hallar los puntos intersección entre las curvas anteriores.** Para hallar los puntos donde se cortan la parábola $y = 4 - x^2$ y la recta $y = x + 2$, igualamos ambas expresiones: $$4 - x^2 = x + 2$$ Reordenamos los términos para obtener una ecuación de segundo grado: $$x^2 + x - 2 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos los valores de abscisa: - $x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$ - $x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2$ Calculamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en la recta $y = x + 2$: - Para $x_1 = 1 \implies y_1 = 1 + 2 = 3 \implies \mathbf{P_1(1, 3)}$ - Para $x_2 = -2 \implies y_2 = -2 + 2 = 0 \implies \mathbf{P_2(-2, 0)}$ 💡 **Tip:** Siempre es más sencillo sustituir en la ecuación de la recta para hallar la coordenada $y$ que en la de la parábola. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P_1(1, 3), \quad P_2(-2, 0)}$$

**b) Esbozar el gráfico señalando el recinto limitado por ambas curvas.** Para representar las funciones: 1. **Parábola $y = 4 - x^2$**: Es una parábola convexa (abierta hacia abajo) con vértice en $(0, 4)$ y puntos de corte con el eje $X$ en $x = \pm 2$. 2. **Recta $y = x + 2$**: Pasa por los puntos $(-2, 0)$ y $(0, 2)$. El recinto es la región encerrada entre ambas gráficas desde $x = -2$ hasta $x = 1$. 💡 **Tip:** Al dibujar, asegúrate de marcar claramente los puntos de intersección hallados en el apartado anterior.

**c) Calcular el área del recinto limitado por ambas curvas.** El área se calcula mediante la integral definida de la función superior menos la función inferior entre los límites de integración correspondientes a los puntos de corte ($x = -2$ y $x = 1$). Observando la gráfica, la parábola $f(x) = 4 - x^2$ está por encima de la recta $g(x) = x + 2$ en el intervalo $[-2, 1]$. $$A = \int_{-2}^{1} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{-2}^{1} [(4 - x^2) - (x + 2)] \, dx$$ Simplificamos el integrando: $$A = \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Si no sabes cuál es la función superior, puedes calcular la integral de la diferencia en valor absoluto $|f(x)-g(x)|$.

Calculamos la integral indefinida (primitiva): $$\int (2 - x - x^2) \, dx = 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $-2$ y $1$: $$A = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1}$$ Calculamos los valores en los extremos: - Para $x = 1$: $$F(1) = 2(1) - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{12 - 3 - 2}{6} = \frac{7}{6}$$ - Para $x = -2$: $$F(-2) = 2(-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} = -4 - 2 + \frac{8}{3} = -6 + \frac{8}{3} = \frac{-18 + 8}{3} = -\frac{10}{3}$$ Finalmente: $$A = F(1) - F(-2) = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si te da negativo, revisa el orden de las funciones en la resta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{9}{2} = 4,5 \text{ u}^2}$$