Probabilidad condicionada: Clientes y bolsas

**a) Construir el árbol de probabilidades descrito en el enunciado.** Primero definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $B$: El cliente trae su propia bolsa. - $\bar{B}$: El cliente no trae su propia bolsa (suceso contrario). - $H$: El cliente es hombre. - $M$: El cliente es mujer. Del enunciado extraemos las probabilidades directas y condicionadas: - $P(B) = 0,55 \implies P(\bar{B}) = 1 - 0,55 = 0,45$ - $P(H|B) = 0,30 \implies P(M|B) = 1 - 0,30 = 0,70$ - $P(M|\bar{B}) = 0,40 \implies P(H|\bar{B}) = 1 - 0,40 = 0,60$ 💡 **Tip:** Recuerda que en cada nudo de un árbol de probabilidad, la suma de las probabilidades de las ramas que salen de él debe ser siempre 1. A continuación representamos el árbol de probabilidades:

**b) ¿Qué proporción de clientes son mujeres?** Para calcular la probabilidad total de que un cliente sea mujer ($P(M)$), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. El suceso $M$ puede ocurrir a través de dos caminos: que la mujer traiga bolsa o que no la traiga. $$P(M) = P(B) \cdot P(M|B) + P(\bar{B}) \cdot P(M|\bar{B})$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(M) = 0,55 \cdot 0,70 + 0,45 \cdot 0,40$$ $$P(M) = 0,385 + 0,180$$ $$P(M) = 0,565$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso depende de varios casos incompatibles que forman una partición del espacio muestral (en este caso, traer bolsa o no traerla). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M) = 0,565 \text{ (es decir, el 56,5\% de los clientes)}}$$

**c) Si un cliente elegido al azar es hombre, ¿qué probabilidad hay de que haya traído su propia bolsa?** Nos piden la probabilidad de que haya traído bolsa sabiendo que es hombre, es decir, $P(B|H)$. Utilizaremos el **Teorema de Bayes**: $$P(B|H) = \frac{P(B \cap H)}{P(H)}$$ Primero, calculamos $P(H)$. Podemos hacerlo de dos formas: sumando las ramas de hombres del árbol o simplemente por el suceso contrario a ser mujer: $$P(H) = 1 - P(M) = 1 - 0,565 = 0,435$$ Ahora, calculamos la intersección $P(B \cap H)$ (primera rama del árbol): $$P(B \cap H) = P(B) \cdot P(H|B) = 0,55 \cdot 0,30 = 0,165$$ Aplicamos la fórmula de Bayes: $$P(B|H) = \frac{0,165}{0,435}$$ $$P(B|H) \approx 0,3793$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la condicionalidad: conocemos $P(H|B)$ y queremos hallar $P(B|H)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|H) \approx 0,3793 \text{ (aprox. 37,93\%)}}$$