Recta paralela a dos planos pasando por un punto

Para que una recta $r$ sea paralela a un plano $\pi$, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. En este caso, la recta debe ser paralela a dos planos simultáneamente: 1. $\pi_1 \equiv x - 3y + z = 0 \implies \vec{n}_1 = (1, -3, 1)$ 2. $\pi_2 \equiv 2x - y + 3z = 5 \implies \vec{n}_2 = (2, -1, 3)$ Por tanto, el vector director de la recta buscada, $\vec{v}_r$, debe ser perpendicular a $\vec{n}_1$ y a $\vec{n}_2$ a la vez. 💡 **Tip:** Si una recta es paralela a la intersección de dos planos (o a los dos planos), su dirección coincide con el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos.

Calculamos el vector director $\vec{v}_r$ realizando el producto vectorial de $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$ mediante un determinante: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -3 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante aplicando la regla de Sarrus: $$\vec{v}_r = [(-3) \cdot 3]\vec{i} + (1 \cdot 2)\vec{j} + (1 \cdot (-1))\vec{k} - [((-3) \cdot 2)\vec{k} + (1 \cdot (-1))\vec{i} + (1 \cdot 3)\vec{j}]$$ $$\vec{v}_r = -9\vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k} - [-6\vec{k} - \vec{i} + 3\vec{j}]$$ $$\vec{v}_r = -9\vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k} + 6\vec{k} + \vec{i} - 3\vec{j}$$ $$\vec{v}_r = (-8, -1, 5)$$ Podemos usar este vector o cualquier proporcional. Para facilitar los cálculos, utilizaremos **$\vec{v}_r = (-8, -1, 5)$**.

Ya disponemos de todos los elementos necesarios para definir la recta $r$: - Punto por el que pasa: $P(2, -1, 5)$ - Vector director: $\vec{v}_r = (-8, -1, 5)$ Podemos expresar la recta en su **forma continua**: $$\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ Sustituyendo los valores: $$\frac{x - 2}{-8} = \frac{y - (-1)}{-1} = \frac{z - 5}{5}$$ Simplificando los signos: $$\frac{x - 2}{-8} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 5}{5}$$ O también en su **forma paramétrica**: $$\begin{cases} x = 2 - 8\lambda \\ y = -1 - \lambda \\ z = 5 + 5\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** En un examen de Selectividad, cualquier forma de la ecuación de la recta (vectorial, paramétrica o continua) suele ser válida a menos que el enunciado especifique una concreta. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{r \equiv \dfrac{x - 2}{-8} = \dfrac{y + 1}{-1} = \dfrac{z - 5}{5}}$$