Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) Discutirlo para los distintos valores del parámetro $k$** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & k^2 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 2 \\ 5 & 2 & 4 & -1 \\ 3 & 1 & k^2 & 3k \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & k^2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2 \cdot k^2) + (1 \cdot 4 \cdot 3) + (3 \cdot 5 \cdot 1) - (3 \cdot 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 \cdot 2 + k^2 \cdot 5 \cdot 1)$$ $$|A| = (4k^2 + 12 + 15) - (18 + 8 + 5k^2) = 4k^2 + 27 - (5k^2 + 26) = 1 - k^2$$ Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos de $k$: $$1 - k^2 = 0 \implies k^2 = 1 \implies k = \pm 1$$ 💡 **Tip:** El estudio del rango de la matriz de coeficientes mediante su determinante es el primer paso fundamental para aplicar el Teorema de Rouché-Capelli.

Si $k \neq 1$ y $k \neq -1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz $A$ es 3. Puesto que la matriz ampliada $A^*$ tiene un tamaño de $3 \times 4$, su rango máximo también es 3. Al coincidir el rango con el número de incógnitas: $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3 = \text{nº de incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única** para cada valor de $k$ distinto de $1$ y $-1$.

Para $k = 1$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rang}(A) < 3$. Analizamos la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 2 \\ 5 & 2 & 4 & -1 \\ 3 & 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ Como el menor $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 5 = -1 \neq 0$, sabemos que $\text{rang}(A) = 2$. Ahora calculamos el rango de $A^*$ tomando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (12 - 3 + 10) - (12 - 2 + 15) = 19 - 25 = -6 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 distinto de cero en $A^*$, $\text{rang}(A^*) = 3$. Comparando los rangos: $$\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A^*) = 3$$ Por el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Incompatible (SI)** para $k = 1$ (no tiene solución).

Para $k = -1$, el determinante $|A| = 0$ y $\text{rang}(A) = 2$ (el menor de orden 2 anterior sigue siendo válido). La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 2 \\ 5 & 2 & 4 & -1 \\ 3 & 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}$$ Calculamos el rango de $A^*$ con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & -3 \end{vmatrix} = (-12 - 3 + 10) - (12 - 2 - 15) = -5 - (-5) = 0$$ Al ser el determinante de orden 3 nulo y tener menores de orden 2 no nulos, $\text{rang}(A^*) = 2$. Comparando rangos: $$\text{rang}(A) = 2 = \text{rang}(A^*) < 3 = \text{nº de incógnitas}$$ Por el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)** para $k = -1$ (tiene infinitas soluciones). ✅ **Resumen discusión:** $$\boxed{\begin{cases} k \neq \pm 1: \text{SCD} \\ k = 1: \text{SI} \\ k = -1: \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) Resolverlo para $k = 2$** Como $2 \neq \pm 1$, estamos ante un **Sistema Compatible Determinado**. El sistema es: $$\begin{cases} 2x + y + 3z = 2 \\ 5x + 2y + 4z = -1 \\ 3x + y + 4z = 6 \end{cases}$$ Calculamos el determinante general para $k=2$: $|A| = 1 - 2^2 = -3$. Usamos la **Regla de Cramer**: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 4 \\ 6 & 1 & 4 \end{vmatrix}}{-3} = \frac{(16 + 24 - 3) - (36 + 8 - 4)}{-3} = \frac{37 - 40}{-3} = \frac{-3}{-3} = 1$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 5 & -1 & 4 \\ 3 & 6 & 4 \end{vmatrix}}{-3} = \frac{(-8 + 24 + 90) - (-9 + 48 + 40)}{-3} = \frac{106 - 79}{-3} = \frac{27}{-3} = -9$$ $$z = \frac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 6 \end{vmatrix}}{-3} = \frac{(24 - 3 + 10) - (12 - 2 + 30)}{-3} = \frac{31 - 40}{-3} = \frac{-9}{-3} = 3$$ 💡 **Tip:** La Regla de Cramer es muy cómoda cuando el sistema es SCD y el determinante es un número pequeño. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 1, \quad y = -9, \quad z = 3}$$