Determinación de parámetros de una función polinómica

Para resolver el ejercicio, debemos traducir las condiciones dadas en ecuaciones matemáticas sobre la función $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 7$ y su derivada. 1. **Extremos relativos en $x=0$ y $x=-2$**: En los extremos relativos de una función derivable, su primera derivada se anula. Por tanto: - $f'(0) = 0$ - $f'(-2) = 0$ 2. **Corte con el eje $OX$ en $x=1$**: Esto significa que el punto $(1, 0)$ pertenece a la gráfica de la función, es decir: - $f(1) = 0$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una función $f$ tiene un extremo relativo en $x=c$ y es derivable en ese punto, entonces $f'(c)=0$ (Condición necesaria de extremo relativo).

Calculamos la primera derivada de $f(x)$ aplicando las reglas básicas de derivación para polinomios: $$f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 7$$ $$f'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx + c$$ 💡 **Tip:** La derivada de una potencia es $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ y la derivada de una constante es 0.

Utilizamos la condición $f'(0) = 0$ para hallar el valor de $c$: $$f'(0) = 4(0)^3 + 3a(0)^2 + 2b(0) + c = 0$$ $$0 + 0 + 0 + c = 0 \implies c = 0$$ Con esto, nuestra función y su derivada se simplifican a: - $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + 7$ - $f'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + 2bx$ ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{c = 0}$$

Usamos la condición $f(1) = 0$ para obtener una relación entre $a$ y $b$: $$f(1) = (1)^4 + a(1)^3 + b(1)^2 + 7 = 0$$ $$1 + a + b + 7 = 0$$ $$a + b = -8 \quad \text{(Ecuación 1)}$$

Usamos la condición $f'(-2) = 0$ para obtener otra relación entre $a$ y $b$: $$f'(-2) = 4(-2)^3 + 3a(-2)^2 + 2b(-2) = 0$$ $$4(-8) + 3a(4) - 4b = 0$$ $$-32 + 12a - 4b = 0$$ Podemos simplificar la ecuación dividiendo por 4: $$3a - b = 8 \quad \text{(Ecuación 2)}$$

Resolvemos el sistema formado por la **Ecuación 1** y la **Ecuación 2**: $$\begin{cases} a + b = -8 \\ 3a - b = 8 \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar la incógnita $b$: $$(a + b) + (3a - b) = -8 + 8$$ $$4a = 0 \implies a = 0$$ Ahora sustituimos $a = 0$ en la **Ecuación 1**: $$0 + b = -8 \implies b = -8$$ ✅ **Valores obtenidos:** $$\boxed{a = 0, \quad b = -8, \quad c = 0}$$

Sustituimos los valores de $a$, $b$ y $c$ en la expresión original de la función: $$f(x) = x^4 + (0)x^3 + (-8)x^2 + (0)x + 7$$ $$f(x) = x^4 - 8x^2 + 7$$ Para comprobar la monotonía y los extremos, analizamos $f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x-2)(x+2)$. Los puntos críticos son $x=0$, $x=2$ y $x=-2$. $$ \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty) \\\hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\\hline \text{Monotonía} & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow & \min & \nearrow \end{array} $$ Se confirma que en $x=0$ y $x=-2$ hay extremos relativos (un máximo y un mínimo respectivamente). ✅ **Expresión final:** $$\boxed{f(x) = x^4 - 8x^2 + 7}$$