Probabilidad de componentes defectuosos y Teorema de Bayes

**a) Construir el diagrama de árbol con las probabilidades asignadas. (0,5 ptos)** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $A$: El componente procede del fabricante A. - $B$: El componente procede del fabricante B. - $C$: El componente procede del fabricante C. - $D$: El componente es defectuoso. - $\bar{D}$: El componente no es defectuoso (está en buen estado). Extraemos los datos de probabilidad del enunciado: - $P(A) = 0.50$ (50% de A) - $P(B) = 0.25$ (25% de B) - $P(C) = 0.25$ (25% de C) Las probabilidades condicionadas (defectuosos por fabricante) son: - $P(D|A) = 0.05$ (5% de A son defectuosos) - $P(D|B) = 0.10$ (10% de B son defectuosos) - $P(D|C) = 0.12$ (12% de C son defectuosos) Por tanto, las probabilidades de no ser defectuosos son: - $P(\bar{D}|A) = 1 - 0.05 = 0.95$ - $P(\bar{D}|B) = 1 - 0.10 = 0.90$ - $P(\bar{D}|C) = 1 - 0.12 = 0.88$

A continuación, representamos la situación mediante un diagrama de árbol para visualizar todas las ramas posibles:

**b) El Departamento de Control de la Calidad escoge un circuito al azar en el almacén, hallar la probabilidad de que contenga componentes defectuosos. (1 pto)** Para hallar la probabilidad de que un circuito sea defectuoso $P(D)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de ser defectuoso viniendo de cada uno de los tres fabricantes: $$P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) + P(C) \cdot P(D|C)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(D) = (0.50 \cdot 0.05) + (0.25 \cdot 0.10) + (0.25 \cdot 0.12)$$ $$P(D) = 0.025 + 0.025 + 0.03$$ $$P(D) = 0.08$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de todas las ramas que terminan en "defectuoso" en el diagrama de árbol nos da la probabilidad total del suceso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D) = 0.08}$$ La probabilidad de que un componente sea defectuoso es del **8%**.

**c) Escogido al azar un circuito que no tiene componentes defectuosos, ¿qué porcentaje de dichos componentes han sido vendidos por el proveedor B? (1 pto)** Nos piden la probabilidad de que el componente sea del fabricante B sabiendo que NO es defectuoso, es decir, $P(B|\bar{D})$. Utilizamos el **Teorema de Bayes**: $$P(B|\bar{D}) = \frac{P(B \cap \bar{D})}{P(\bar{D})} = \frac{P(B) \cdot P(\bar{D}|B)}{P(\bar{D})}$$ Primero, calculamos $P(\bar{D})$ como el suceso contrario a ser defectuoso: $$P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0.08 = 0.92$$ Ahora calculamos el numerador $P(B \cap \bar{D})$: $$P(B \cap \bar{D}) = P(B) \cdot P(\bar{D}|B) = 0.25 \cdot 0.90 = 0.225$$ Finalmente, calculamos la probabilidad condicionada: $$P(B|\bar{D}) = \frac{0.225}{0.92} \approx 0.244565$$ Para dar la respuesta en porcentaje como pide el enunciado: $$\% = 0.244565 \cdot 100 = 24.46\%$$ 💡 **Tip:** En el Teorema de Bayes, el numerador es siempre una de las ramas del cálculo de la probabilidad total (en este caso, la rama de B que termina en no defectuoso). ✅ **Resultado:** $$\boxed{24.46\%}$$