Recta perpendicular y plano de simetría

**a) Calcular la recta perpendicular a $r$ que pasa por el punto $P(-4, 17, 0)$ (1,25 ptos)** Primero, determinamos el vector director de la recta $r$, que viene dado por el vector $\vec{AB}$: $$\vec{v_r} = \vec{AB} = B - A = (2 - 2, 3 - (-1), 1 - 1) = (0, 4, 0)$$ Podemos simplificar el vector director a $\vec{v_r} = (0, 1, 0)$ para facilitar los cálculos. La recta $r$ en ecuaciones paramétricas, usando el punto $A(2, -1, 1)$, es: $$r \equiv \begin{cases} x = 2 \\ y = -1 + \lambda \\ z = 1 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El vector $(0, 4, 0)$ indica que la recta es paralela al eje $Y$.

Para encontrar la recta perpendicular a $r$ que pasa por $P$, primero hallaremos el punto $M$ (proyección ortogonal de $P$ sobre $r$). Para ello, trazamos un plano $\pi$ perpendicular a $r$ que contenga al punto $P(-4, 17, 0)$. El vector normal del plano $\pi$ será el vector director de la recta, $\vec{n_\pi} = \vec{v_r} = (0, 1, 0)$. La ecuación del plano será: $$0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z + D = 0 \implies y + D = 0$$ Como el punto $P(-4, 17, 0)$ pertenece al plano, sustituimos sus coordenadas: $$17 + D = 0 \implies D = -17$$ La ecuación del plano auxiliar es: $$\pi \equiv y = 17$$ 💡 **Tip:** Un plano perpendicular a una recta dirigida por $(0,1,0)$ siempre tendrá la forma $y = k$.

Buscamos el punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$: Sustituimos las ecuaciones de la recta $r$ en el plano $y = 17$: $$-1 + \lambda = 17 \implies \lambda = 18$$ Sustituimos el valor de $\lambda$ en las ecuaciones paramétricas de $r$: $$x = 2$$ $$y = -1 + 18 = 17$$ $$z = 1$$ Por lo tanto, el punto de intersección es $M(2, 17, 1)$. $$\boxed{M(2, 17, 1)}$$

La recta buscada $s$ es la que pasa por $P(-4, 17, 0)$ y $M(2, 17, 1)$. Su vector director $\vec{v_s}$ es: $$\vec{v_s} = \vec{PM} = M - P = (2 - (-4), 17 - 17, 1 - 0) = (6, 0, 1)$$ Usamos el punto $P$ y el vector $\vec{v_s}$ para escribir la ecuación paramétrica de la recta: $$s \equiv \begin{cases} x = -4 + 6\mu \\ y = 17 \\ z = \mu \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{s \equiv \begin{cases} x = -4 + 6\mu \\ y = 17 \\ z = \mu \end{cases}}$$

**b) Calcular la ecuación del plano respecto del cual los puntos $A$ y $B$ son simétricos. (1.25 ptos)** El plano respecto al cual dos puntos $A$ y $B$ son simétricos es el **plano mediador** del segmento $AB$. Este plano cumple dos condiciones: 1. Es perpendicular al segmento $AB$, por lo que su vector normal será $\vec{n} = \vec{AB}$. 2. Pasa por el punto medio del segmento $AB$. Calculamos el vector normal $\vec{n}$: $$\vec{n} = \vec{AB} = (0, 4, 0)$$ Como antes, podemos simplificarlo a $\vec{n} = (0, 1, 0)$.

Hallamos el punto medio $Q$ del segmento $AB$: $$Q = \frac{A + B}{2} = \left( \frac{2+2}{2}, \frac{-1+3}{2}, \frac{1+1}{2} \right) = (2, 1, 1)$$ Ahora, escribimos la ecuación del plano que pasa por $Q(2, 1, 1)$ con vector normal $\vec{n} = (0, 1, 0)$: $$0 \cdot (x - 2) + 1 \cdot (y - 1) + 0 \cdot (z - 1) = 0$$ $$y - 1 = 0$$ 💡 **Tip:** El plano mediador es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de $A$ y $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 1}$$