Sistema de ecuaciones matriciales

Para resolver el sistema de ecuaciones matriciales, utilizaremos el **método de reducción**, similar a como se resuelven los sistemas de ecuaciones lineales con números reales. Sean las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 8 & -3 & 4 \\ 7 & -1 & 12 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 2 \\ -7 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$ El sistema se puede escribir como: $$\begin{cases} (1) \quad 2X + 3Y = A \\ (2) \quad X - 2Y = B \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Las operaciones con matrices (suma, resta y multiplicación por un escalar) se realizan elemento a elemento. Para que estas operaciones sean posibles, las matrices deben tener la misma dimensión, en este caso $2 \times 3$.

Para eliminar la matriz $Y$, multiplicamos la ecuación $(1)$ por $2$ y la ecuación $(2)$ por $3$: $$\begin{cases} 2(2X + 3Y) = 2A \\ 3(X - 2Y) = 3B \end{cases} \implies \begin{cases} 4X + 6Y = 2A \\ 3X - 6Y = 3B \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$(4X + 3X) + (6Y - 6Y) = 2A + 3B \implies 7X = 2A + 3B$$ Calculamos $2A$ y $3B$: $$2A = 2 \cdot \begin{pmatrix} 8 & -3 & 4 \\ 7 & -1 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & -6 & 8 \\ 14 & -2 & 24 \end{pmatrix}$$ $$3B = 3 \cdot \begin{pmatrix} -3 & 2 & 2 \\ -7 & 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & 6 & 6 \\ -21 & 9 & -3 \end{pmatrix}$$ Sumamos: $$7X = \begin{pmatrix} 16-9 & -6+6 & 8+6 \\ 14-21 & -2+9 & 24-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 0 & 14 \\ -7 & 7 & 21 \end{pmatrix}$$ Despejamos $X$ dividiendo por $7$: $$X = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 7 & 0 & 14 \\ -7 & 7 & 21 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado para X:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}}$$

Para obtener $Y$, podemos usar la ecuación $(2)$ despejándola: $$X - 2Y = B \implies 2Y = X - B$$ Calculamos la resta $X - B$: $$X - B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & 2 & 2 \\ -7 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$ $$X - B = \begin{pmatrix} 1 - (-3) & 0 - 2 & 2 - 2 \\ -1 - (-7) & 1 - 3 & 3 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 0 \\ 6 & -2 & 4 \end{pmatrix}$$ Ahora despejamos $Y$ dividiendo por $2$: $$Y = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 & 0 \\ 6 & -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** También podrías haber eliminado $X$ en el sistema original multiplicando la segunda ecuación por $-2$ y sumando, el resultado debe ser el mismo. ✅ **Resultado para Y:** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}}$$

La solución del sistema de ecuaciones matriciales es: $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}}$$