Derivabilidad de una función a trozos con parámetros

Para que una función sea derivable en todo su dominio, primero debe ser **continua** en dicho dominio. Analizamos las ramas de la función: - Para $x < 1$, $f(x) = a - x$ es una función polinómica, por lo que es continua y derivable en $(-\infty, 1)$. - Para $x > 1$, $f(x) = \frac{b}{x} - \ln x$ es una combinación de una función racional y una logarítmica. Ambas son continuas y derivables en $(1, +\infty)$ ya que el denominador $x$ no se anula y el argumento del logaritmo es positivo. El único punto de conflicto es $x = 1$. Por tanto, debemos imponer que la función sea continua y derivable en **$x = 1$**. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no asegura la derivabilidad. Siempre comprobamos primero la continuidad.

Para que $f(x)$ sea continua en $x = 1$, los límites laterales deben coincidir con el valor de la función: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$$ Calculamos cada valor: - **Límite por la izquierda ($x \le 1$):** $$\lim_{x \to 1^-} (a - x) = a - 1$$ - **Límite por la derecha ($x > 1$):** $$\lim_{x \to 1^+} \left( \frac{b}{x} - \ln x \right) = \frac{b}{1} - \ln(1) = b - 0 = b$$ - **Valor de la función:** $$f(1) = a - 1$$ Igualando los resultados obtenemos la primera ecuación: $$a - 1 = b \implies \mathbf{a - b = 1}$$ 💡 **Tip:** El logaritmo natural de 1 es siempre 0: $\ln(1) = 0$.

Para que $f(x)$ sea derivable en $x = 1$, las derivadas laterales deben existir y ser iguales. Primero, calculamos la derivada de cada rama para $x \neq 1$: $$f'(x) = \begin{cases} -1 & \text{si } x < 1 \\ -\frac{b}{x^2} - \frac{1}{x} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Ahora calculamos las derivadas laterales en $x = 1$: - **Derivada por la izquierda:** $$f'(1^-) = -1$$ - **Derivada por la derecha:** $$f'(1^+) = -\frac{b}{1^2} - \frac{1}{1} = -b - 1$$ Para que sea derivable, imponemos $f'(1^-) = f'(1^+)$: $$-1 = -b - 1$$ 💡 **Tip:** La derivada de $\frac{b}{x}$ es $-b/x^2$ y la derivada de $\ln x$ es $1/x$.

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones con $a$ y $b$: 1) $a - b = 1$ 2) $-1 = -b - 1$ De la segunda ecuación: $$-1 + 1 = -b \implies 0 = -b \implies \mathbf{b = 0}$$ Sustituimos $b = 0$ en la primera ecuación: $$a - 0 = 1 \implies \mathbf{a = 1}$$ ✅ **Valores calculados:** $$\boxed{a = 1, \quad b = 0}$$

Una vez hallados los valores de $a$ y $b$, sustituimos en la expresión original de $f(x)$: Para $x \le 1$: $f(x) = 1 - x$ Para $x > 1$: $f(x) = \frac{0}{x} - \ln x = -\ln x$ La función resultante es: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f(x) = \begin{cases} 1 - x & \text{si } x \le 1 \\ -\ln x & \text{si } x > 1 \end{cases}}$$ Podemos observar que en $x=1$, $f(1) = 1 - 1 = 0$ y $\lim_{x \to 1^+} -\ln x = 0$, por lo que es continua. Además, $f'(1^-) = -1$ y $f'(1^+) = -1/1 = -1$, confirmando que es derivable.