Distribución Normal: Tiempo de devolución de préstamos

**a) Calcular la probabilidad de que dicho préstamo se devuelva como mucho en 70 meses. (0,75 ptos)** En primer lugar, definimos la variable aleatoria que describe el experimento: $X =$ "tiempo de devolución del préstamo en meses". Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(60, 8)$$ Para calcular probabilidades en una normal distinta a la estándar, debemos realizar la **tipificación** (transformar $X$ en $Z$) usando la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 60}{8}$$ Donde $Z \sim N(0, 1)$. En este apartado nos piden calcular $P(X \le 70)$: $$P(X \le 70) = P\left(Z \le \frac{70 - 60}{8}\right) = P\left(Z \le \frac{10}{8}\right) = P(Z \le 1.25)$$ 💡 **Tip:** La tipificación nos permite usar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$ que están tabuladas.

Buscamos el valor $1.25$ en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$: - Miramos la fila $1.2$ y la columna $0.05$. - El valor obtenido es $0.8944$. Por tanto: $$P(X \le 70) = P(Z \le 1.25) = 0.8944$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 70) = 0.8944}$$

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que fuera devuelto, al menos en 4 años? (0,75 ptos)** Primero debemos unificar las unidades. Como nuestra variable $X$ está en meses: $$4 \text{ años} = 4 \cdot 12 = 48 \text{ meses}$$ Nos piden calcular la probabilidad de que se devuelva "al menos" en 48 meses, es decir, $P(X \ge 48)$. Tipificamos: $$P(X \ge 48) = P\left(Z \ge \frac{48 - 60}{8}\right) = P\left(Z \ge \frac{-12}{8}\right) = P(Z \ge -1.5)$$ Por simetría de la campana de Gauss, sabemos que $P(Z \ge -a) = P(Z \le a)$: $$P(Z \ge -1.5) = P(Z \le 1.5)$$ Buscamos $1.5$ en la tabla $N(0, 1)$ y obtenemos $0.9332$. 💡 **Tip:** Recuerda que $P(Z \ge -k)$ es el área a la derecha de un valor negativo, que por simetría es igual al área a la izquierda del mismo valor positivo $P(Z \le k)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 48) = 0.9332}$$

**c) ¿Qué porcentaje de préstamos de 18000€ del mismo banco se formalizan para ser devueltos entre los 4 y los 6 años? (1 pto)** Convertimos los años a meses: - $4 \text{ años} = 48 \text{ meses}$ - $6 \text{ años} = 6 \cdot 12 = 72 \text{ meses}$ Queremos hallar $P(48 \le X \le 72)$. Tipificamos ambos extremos: $$P(48 \le X \le 72) = P\left(\frac{48 - 60}{8} \le Z \le \frac{72 - 60}{8}\right)$$ $$P(-1.5 \le Z \le 1.5)$$ Para calcular la probabilidad en un intervalo $[a, b]$, usamos la fórmula $P(a \le Z \le b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$: $$P(-1.5 \le Z \le 1.5) = P(Z \le 1.5) - P(Z \le -1.5)$$ Como $P(Z \le -1.5) = 1 - P(Z \le 1.5)$, la expresión queda: $$P(Z \le 1.5) - [1 - P(Z \le 1.5)] = 2 \cdot P(Z \le 1.5) - 1$$ Sustituimos el valor de la tabla: $$2 \cdot 0.9332 - 1 = 1.8664 - 1 = 0.8664$$ Para dar el porcentaje, multiplicamos por 100: $$0.8664 \cdot 100 = 86.64\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{86.64\%}$$