Recta paralela a dos planos y ángulo entre planos

**a) La ecuación de la recta $r$ paralela a los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ que pasa por el punto $B(2, 2, 3)$ (1,5 ptos)** Para que una recta $r$ sea paralela a dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular a los vectores normales de ambos planos simultáneamente. Primero, extraemos los vectores normales de las ecuaciones generales de los planos: - Para $\pi_1 \equiv 1x - 1y + 0z + 3 = 0$, el vector normal es $\vec{n}_1 = (1, -1, 0)$. - Para $\pi_2 \equiv 2x + 1y - 1z + 0 = 0$, el vector normal es $\vec{n}_2 = (2, 1, -1)$. 💡 **Tip:** El vector normal a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es directamente $\vec{n} = (A, B, C)$.

Como se ha mencionado, el vector director $\vec{v}_r$ es perpendicular a $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$. Podemos obtenerlo mediante el **producto vectorial** de ambos: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila: $$\vec{v}_r = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r = \mathbf{i} ((-1)(-1) - 0\cdot 1) - \mathbf{j} (1(-1) - 0\cdot 2) + \mathbf{k} (1\cdot 1 - (-1)\cdot 2)$$ $$\vec{v}_r = \mathbf{i} (1) - \mathbf{j} (-1) + \mathbf{k} (1 + 2) = (1, 1, 3)$$ 💡 **Tip:** Si el producto vectorial te resulta complejo, recuerda que el resultado debe cumplir que $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_1 = 0$ y $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_2 = 0$. Comprobémoslo: $(1,1,3)\cdot(1,-1,0) = 1-1 = 0$. Correcto. $$\boxed{\vec{v}_r = (1, 1, 3)}$$

Ya tenemos el punto $B(2, 2, 3)$ y el vector director $\vec{v}_r = (1, 1, 3)$. La ecuación continua de la recta viene dada por: $$r \equiv \frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ Sustituyendo los valores: $$r \equiv \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{3}$$ También podemos expresarla en forma paramétrica: $$r \equiv \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 3 + 3\lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r \equiv x - 2 = y - 2 = \frac{z - 3}{3}}$$

**b) El ángulo que forman los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ (1 pto)** El ángulo $\alpha$ que forman dos planos es el mismo que el ángulo que forman sus vectores normales. La fórmula para calcularlo es: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$$ Calculamos primero el producto escalar: $$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (1, -1, 0) \cdot (2, 1, -1) = 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot (-1) = 2 - 1 = 1$$ Ahora, calculamos los módulos de cada vector: $$|\vec{n}_1| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$$ $$|\vec{n}_2| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$ Sustituimos en la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$$ Racionalizando o calculando directamente: $$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{12}}\right) \approx \arccos(0.2887)$$ $$\alpha \approx 73.22^\circ$$ 💡 **Tip:** El ángulo entre dos planos siempre se toma en el intervalo $[0, 90^\circ]$, por eso usamos el valor absoluto en el numerador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{12}}\right) \approx 73.22^\circ}$$