Ecuaciones matriciales e inversión de matrices

**a) Calcular el valor de $x$ de modo que se verifique la igualdad: $B^2 = A$ (0,5 ptos)** En primer lugar, calculamos la matriz $B^2$ multiplicando $B$ por sí misma: $$B^2 = B \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Elemento (1,1): $0\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1$ - Elemento (1,2): $0\cdot 1 + 1\cdot 1 = 1$ - Elemento (2,1): $1\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1$ - Elemento (2,2): $1\cdot 1 + 1\cdot 1 = 2$ Por tanto: $$B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, el número de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda. El elemento $c_{ij}$ es el producto escalar de la fila $i$ de la primera por la columna $j$ de la segunda.

Igualamos el resultado obtenido con la matriz $A$ proporcionada en el enunciado: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & x + 1 \end{pmatrix}$$ Para que dos matrices sean iguales, todos sus elementos correspondientes deben coincidir: 1. $1 = x \implies x = 1$ 2. $1 = 1$ (Se cumple) 3. $1 = 1$ (Se cumple) 4. $2 = x + 1 \implies x = 2 - 1 = 1$ Ambas ecuaciones dependientes de $x$ nos dan el mismo valor. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 1}$$

**b) Calcular el valor de $x$ para que $A - I_2 = B^{-1}$ (1,5 ptos)** Primero, calculamos la inversa de $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Calculamos su determinante: $$|B| = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1) - (1 \cdot 1) = -1$$ Como $|B| \neq 0$, la matriz es invertible. Usamos la fórmula de la matriz adjunta: $$B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{Adj}(B)^T$$ Calculamos los adjuntos: $A_{11} = 1, \quad A_{12} = -1, \quad A_{21} = -1, \quad A_{22} = 0$ $$\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(B)^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$B^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, la inversa se puede obtener rápidamente intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando el signo de la secundaria y dividiendo por el determinante.

Calculamos ahora $A - I_2$: $$A - I_2 = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & x + 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - 1 & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix}$$ Igualamos ambos resultados según la condición $A - I_2 = B^{-1}$: $$\begin{pmatrix} x - 1 & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Comparamos los elementos: - De la posición (1,1): $x - 1 = -1 \implies x = 0$ - De la posición (2,2): $x = 0$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 0}$$

**c) Calcular el valor de $x$ para que $A \cdot B = I_2$ (0,5 ptos)** La condición $A \cdot B = I_2$ implica, por definición de matriz inversa, que la matriz $A$ debe ser la inversa de $B$ ($A = B^{-1}$). Ya hemos calculado $B^{-1}$ en el apartado anterior: $$B^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Igualamos $A$ con $B^{-1}$: $$\begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & x + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Comparamos elementos: 1. $x = -1$ 2. $x + 1 = 0 \implies x = -1$ Ambas condiciones son consistentes y nos dan el mismo valor para $x$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = -1}$$