Optimización del área de un terreno rectangular

**1. Se desea vallar un terreno rectangular usando 100 metros de una tela metálica. Se ha decidido dejar una abertura de 20 metros sin vallar en uno de los lados de la parcela para colocar una puerta. Calcular las dimensiones de todos los lados de la parcela rectangular de área máxima que puede vallarse de esa manera. Calcular el valor de dicha área máxima. (2,5 ptos)** Primero, definimos las dimensiones del rectángulo: - Sea $x$ la longitud de dos de los lados paralelos (anchura). - Sea $y$ la longitud de los otros dos lados paralelos (longitud). Sabemos que disponemos de $100$ metros de tela. En uno de los lados de longitud $y$, dejamos un hueco de $20$ metros. Por tanto, la suma de las longitudes de los trozos de tela utilizados será: $$L = x + x + y + (y - 20)$$ $$100 = 2x + 2y - 20$$ Simplificamos la ecuación para obtener la relación entre las variables: $$120 = 2x + 2y \implies 60 = x + y$$ $$y = 60 - x$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre debemos buscar una ecuación de restricción que nos permita expresar una variable en función de la otra para trabajar con una sola variable en la función objetivo.

Queremos maximizar el área del rectángulo ($A$), que viene dada por el producto de sus lados: $$A = x \cdot y$$ Sustituimos $y = 60 - x$ en la fórmula del área: $$A(x) = x(60 - x) = 60x - x^2$$ **Estudio del dominio:** Las dimensiones deben ser positivas, por lo que $x > 0$. Además, como hay una abertura de $20$ metros en un lado de longitud $y$, se debe cumplir que $y \ge 20$ (suponiendo que la puerta ocupa parte de ese lado). Si $y = 60 - x$, entonces $60 - x \ge 20 \implies x \le 40$. Por lo tanto, el dominio de interés es $x \in (0, 40]$. $$\boxed{A(x) = 60x - x^2}$$

Para encontrar el máximo, calculamos la primera derivada de la función área e igualamos a cero: $$A'(x) = 60 - 2x$$ Resolvemos $A'(x) = 0$: $$60 - 2x = 0 \implies 2x = 60 \implies x = 30$$ El valor obtenido $x = 30$ pertenece a nuestro dominio de estudio. 💡 **Tip:** Recuerda que los extremos relativos de una función derivable se encuentran en los puntos donde su derivada es igual a cero.

Para comprobar que en $x = 30$ existe un máximo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$A''(x) = -2$$ Como $A''(30) = -2 < 0$, confirmamos que en $x = 30$ hay un **máximo relativo**. También podemos observar el cambio de signo de la primera derivada: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 30) & 30 & (30, 40) \\\hline A'(x) & + & 0 & - \\\hline A(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array} $$ ✅ **Resultado:** El área es máxima cuando $x = 30$ metros.

Calculamos el valor de la otra dimensión $y$: $$y = 60 - x = 60 - 30 = 30 \text{ metros}$$ Calculamos el valor del área máxima: $$A = 30 \cdot 30 = 900 \text{ m}^2$$ Las dimensiones de la parcela son dos lados de $30$ metros y otros dos lados de $30$ metros (es un cuadrado). ✅ **Solución final:** $$\boxed{\text{Dimensiones: } 30\text{ m y } 30\text{ m. Área máxima: } 900\text{ m}^2}$$