Probabilidad y Estadística 2019 Castilla la Mancha
Probabilidad total, Bayes y Distribución Normal
5B. a) En la sala de pediatría de un hospital el $70\%$ de los pacientes son niñas. De los niños el $40\%$ son menores de 36 meses y de las niñas el $30\%$ tienen menos de 36 meses. Un pediatra entra en la sala y selecciona un paciente al azar. Calcula razonadamente la probabilidad de:
a1) Que no tenga menos de 36 meses. (0,75 puntos)
a2) Si el paciente resulta ser menor de 36 meses, que sea niña. (0,5 puntos)
b) En una de las pruebas de acceso al cuerpo de ingenieros de la Administración Pública se realiza un test de 100 ítems a 450 opositores. Cada ítem vale un punto y se supera la prueba si se obtienen al menos 75 puntos. Suponiendo que las puntuaciones obtenidas por los opositores siguen una distribución normal de media 60 puntos y desviación típica 10 puntos, calcula razonadamente:
b1) La probabilidad de obtener 75 o más puntos. (0,75 puntos)
b2) El número de opositores que obtuvieron menos de 75 puntos. (0,5 puntos)
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline a & 0,00 & 0,01 & 0,02 & 0,03 & 0,04 & 0,05 & 0,06 & 0,07 & 0,08 & 0,09 \\
\hline 1,5 & 0,9332 & 0,9345 & 0,9357 & 0,9370 & 0,9382 & 0,9394 & 0,9406 & 0,9418 & 0,9429 & 0,9441 \\
1,6 & 0,9452 & 0,9463 & 0,9474 & 0,9484 & 0,9495 & 0,9505 & 0,9515 & 0,9525 & 0,9535 & 0,9545 \\
1,7 & 0,9554 & 0,9564 & 0,9573 & 0,9582 & 0,9591 & 0,9599 & 0,9608 & 0,9616 & 0,9625 & 0,9633 \\
1,8 & 0,9641 & 0,9649 & 0,9656 & 0,9664 & 0,9671 & 0,9678 & 0,9686 & 0,9693 & 0,9699 & 0,9706 \\
1,9 & 0,9713 & 0,9719 & 0,9726 & 0,9732 & 0,9738 & 0,9744 & 0,9750 & 0,9756 & 0,9761 & 0,9767 \\
\hline
\end{tabular}
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a1) Que no tenga menos de 36 meses. (0,75 puntos)**
Primero definimos los sucesos del experimento:
- $A$: El paciente es niña.
- $O$: El paciente es niño.
- $M$: El paciente es menor de 36 meses.
- $\bar{M}$: El paciente tiene 36 meses o más (no tiene menos de 36 meses).
Datos del enunciado:
$P(A) = 0,70 \implies P(O) = 1 - 0,70 = 0,30$
$P(M|A) = 0,30 \implies P(\bar{M}|A) = 0,70$
$P(M|O) = 0,40 \implies P(\bar{M}|O) = 0,60$
Representamos el árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de no tener menos de 36 meses
Para calcular $P(\bar{M})$ aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de ser niña y no menor, y de ser niño y no menor:
$$P(\bar{M}) = P(A) \cdot P(\bar{M}|A) + P(O) \cdot P(\bar{M}|O)$$
Sustituimos los valores:
$$P(\bar{M}) = 0,7 \cdot 0,7 + 0,3 \cdot 0,6$$
$$P(\bar{M}) = 0,49 + 0,18 = 0,67$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{M}) = 0,67}$$
Paso 3
Cálculo de probabilidad condicionada (Bayes)
**a2) Si el paciente resulta ser menor de 36 meses, que sea niña. (0,5 puntos)**
Se nos pide la probabilidad condicionada $P(A|M)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(A|M) = \frac{P(A \cap M)}{P(M)}$$
Primero necesitamos $P(M)$, que es el suceso contrario a $\bar{M}$:
$$P(M) = 1 - P(\bar{M}) = 1 - 0,67 = 0,33$$
Ahora calculamos la intersección:
$$P(A \cap M) = P(A) \cdot P(M|A) = 0,7 \cdot 0,3 = 0,21$$
Finalmente:
$$P(A|M) = \frac{0,21}{0,33} = \frac{21}{33} = \frac{7}{11} \approx 0,6364$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A|M) \approx 0,6364}$$
Paso 4
Distribución Normal: Probabilidad de obtener 75 o más puntos
**b1) La probabilidad de obtener 75 o más puntos. (0,75 puntos)**
Sea $X$ la variable aleatoria que representa la puntuación de un opositor. Según el enunciado:
$$X \sim N(60, 10)$$
Queremos calcular $P(X \ge 75)$. Para usar la tabla proporcionada, debemos **tipificar** la variable transformándola en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$:
$$P(X \ge 75) = P\left( Z \ge \frac{75 - 60}{10} \right) = P(Z \ge 1,5)$$
Como la tabla nos da probabilidades acumuladas a la izquierda, usamos la propiedad del suceso complementario:
$$P(Z \ge 1,5) = 1 - P(Z \lt 1,5)$$
Buscamos en la tabla el valor para $1,5 + 0,00$:
$$P(Z \lt 1,5) = 0,9332$$
Por tanto:
$$P(X \ge 75) = 1 - 0,9332 = 0,0668$$
💡 **Tip:** Al tipificar, restamos la media y dividimos por la desviación típica. La campana de Gauss es simétrica, por lo que $P(Z \ge a) = 1 - P(Z \lt a)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X \ge 75) = 0,0668}$$
Paso 5
Distribución Normal: Número de opositores esperado
**b2) El número de opositores que obtuvieron menos de 75 puntos. (0,5 puntos)**
Primero calculamos la probabilidad de obtener menos de 75 puntos, que es $P(X \lt 75)$:
$$P(X \lt 75) = P\left( Z \lt \frac{75 - 60}{10} \right) = P(Z \lt 1,5)$$
De la tabla anterior, ya sabemos que:
$$P(Z \lt 1,5) = 0,9332$$
Como hay un total de $N = 450$ opositores, el número esperado de personas que obtuvieron menos de 75 puntos es:
$$\text{Número de opositores} = N \cdot P(X \lt 75) = 450 \cdot 0,9332 = 419,94$$
Dado que hablamos de personas, redondeamos al número entero más próximo.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{420 \text{ opositores (aproximadamente)}}$$