Producto vectorial y ecuaciones de la recta

**a) Dados los vectores $\vec{u} = (-1, 0, -2), \vec{v} = (a, b, 1)$ y $\vec{w} = (2, 5, c)$, halla razonadamente el valor de $a, b$ y $c$ para que los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sean ortogonales y para que el vector $\vec{w}$ sea igual al producto vectorial de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.** Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es igual a cero: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Calculamos el producto escalar: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = (-1, 0, -2) \cdot (a, b, 1) = (-1)(a) + (0)(b) + (-2)(1) = -a - 2$$ Igualamos a cero para que sean ortogonales: $$-a - 2 = 0 \implies a = -2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Sabiendo que $a = -2$, el vector $\vec{v}$ es $(-2, b, 1)$. Se nos indica que $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$. Calculamos el producto vectorial mediante el determinante: $$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & -2 \\ -2 & b & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila: $$\vec{u} \times \vec{v} = \vec{i} \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ b & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -2 & b \end{vmatrix}$$ $$\vec{u} \times \vec{v} = \vec{i}(0 - (-2b)) - \vec{j}(-1 - 4) + \vec{k}(-b - 0) = (2b, 5, -b)$$ Como el enunciado dice que $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$ y sabemos que $\vec{w} = (2, 5, c)$, igualamos componente a componente: 1. Primera componente: $2b = 2 \implies b = 1$ 2. Segunda componente: $5 = 5$ (se cumple) 3. Tercera componente: $-b = c$ Sustituyendo $b = 1$ en la tercera ecuación: $$c = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -2, \quad b = 1, \quad c = -1}$$

**b) Determina razonadamente las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $P(-1, 3, 1)$ y es perpendicular al plano $\pi \equiv x + y + 2z - 3 = 0$. Comprueba si los puntos $Q(1, 5, 5)$ y $R(0, 4, 2)$ pertenecen o no a la recta.** Si una recta $r$ es perpendicular a un plano $\pi$, su vector director $\vec{d}_r$ debe tener la misma dirección que el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Dada la ecuación del plano $\pi \equiv x + y + 2z - 3 = 0$, su vector normal es: $$\vec{n}_\pi = (1, 1, 2)$$ Por tanto, tomamos como vector director de la recta: $$\vec{d}_r = (1, 1, 2)$$ 💡 **Tip:** Los coeficientes $A, B, C$ de la ecuación general del plano $Ax+By+Cz+D=0$ forman su vector normal $(A,B,C)$.

Utilizamos el punto $P(-1, 3, 1)$ y el vector director $\vec{d}_r = (1, 1, 2)$ para escribir las ecuaciones paramétricas: $$r \equiv \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = 3 + \lambda \\ z = 1 + 2\lambda \end{cases} \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado (recta):** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = 3 + \lambda \\ z = 1 + 2\lambda \end{cases}}$$

Para comprobar si un punto pertenece a la recta, sustituimos sus coordenadas en las ecuaciones paramétricas y verificamos si existe un valor único de $\lambda$. Para $Q(1, 5, 5)$: $$\begin{cases} 1 = -1 + \lambda \implies \lambda = 2 \\ 5 = 3 + \lambda \implies \lambda = 2 \\ 5 = 1 + 2\lambda \implies 4 = 2\lambda \implies \lambda = 2 \end{cases}$$ Como obtenemos el mismo valor de $\lambda$ para las tres ecuaciones, el punto **$Q$ pertenece a la recta**. $$\boxed{Q \in r}$$

Repetimos el proceso para $R(0, 4, 2)$: $$\begin{cases} 0 = -1 + \lambda \implies \lambda = 1 \\ 4 = 3 + \lambda \implies \lambda = 1 \\ 2 = 1 + 2\lambda \implies 1 = 2\lambda \implies \lambda = 0.5 \end{cases}$$ Al obtener valores de $\lambda$ diferentes ($1 \neq 0.5$), el punto **$R$ no pertenece a la recta**. $$\boxed{R \notin r}$$