Rango de una matriz con parámetros y resolución de ecuación matricial

**a) Calcula razonadamente el rango de la matriz $A$ según los valores del parámetro $a \in \mathbb{R}$. (1 punto)** El rango de una matriz cuadrada coincide con el orden del mayor menor no nulo. Empezamos calculando el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo es máximo (rango 3). $$|A| = \begin{vmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 1 & 0 & a + 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila ya que tiene dos ceros: $$|A| = a \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ 0 & a + 2 \end{vmatrix} = a \cdot [1 \cdot (a + 2) - 0 \cdot a] = a(a + 2)$$ 💡 **Tip:** Si una fila o columna tiene muchos ceros, es más rápido desarrollar el determinante por los elementos de esa línea que usar la regla de Sarrus directamente. $$\boxed{|A| = a^2 + 2a}$$

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ que reducen el rango: $$|A| = 0 \iff a(a + 2) = 0 \implies a_1 = 0, \, a_2 = -2$$ Ahora discutimos el rango según los valores encontrados: **Caso 1: Si $a \neq 0$ y $a \neq -2$** El determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$), por lo tanto, las tres filas son linealmente independientes. $$\boxed{\text{rg}(A) = 3}$$

**Caso 2: Si $a = 0$** La matriz resulta: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ El determinante es $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \implies \boxed{\text{rg}(A) = 2}$$ **Caso 3: Si $a = -2$** La matriz resulta: $$A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 0$, buscamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0 \implies \boxed{\text{rg}(A) = 2}$$ 💡 **Tip:** Para que el rango sea 2, basta con encontrar una submatriz de $2 \times 2$ cuyo determinante no sea cero.

**b) Para $a = 1$ calcula razonadamente la matriz $X$ que verifica que $X \cdot A = B - X$. (1,5 puntos)** Primero, despejamos la matriz $X$ de la ecuación: $$X \cdot A = B - X$$ $$X \cdot A + X = B$$ Sacamos factor común $X$ por la izquierda. Para sumar una matriz y un escalar (implícito en el factor común), debemos usar la matriz identidad $I$: $$X(A + I) = B$$ Si la matriz $(A + I)$ es invertible, podemos despejar $X$ multiplicando por la inversa por la derecha: $$X = B \cdot (A + I)^{-1}$$ 💡 **Tip:** Es fundamental respetar el orden en el producto de matrices. Como $(A+I)$ multiplica a $X$ por la derecha, su inversa debe aparecer a la derecha de $B$.

Para $a = 1$, la matriz $A$ es $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$. Calculamos $C = A + I$: $$C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$ Calculamos $|C|$: $$|C| = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 2(8 - 0) = 16 \neq 0 \implies \exists C^{-1}$$ Calculamos la matriz de adjuntos $\text{adj}(C)$: $$\text{adj}(C) = \begin{pmatrix} 8 & 1 & -2 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & -2 & 4 \end{pmatrix} \implies \text{adj}(C)^T = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 1 & 8 & -2 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$ Luego, $C^{-1} = \frac{1}{16} \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 1 & 8 & -2 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

Calculamos $X = B \cdot C^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{16} \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 1 & 8 & -2 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de matrices: - Fila 1 de $X$: $x_{11} = 1 \cdot 8 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 6$ $x_{12} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 8 + 1 \cdot 0 = 0$ $x_{13} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-2) + 1 \cdot 4 = 4$ - Fila 2 de $X$: $x_{21} = 0 \cdot 8 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) = 1$ $x_{22} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 8 + 0 \cdot 0 = 8$ $x_{23} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 4 = -2$ $$X = \frac{1}{16} \begin{pmatrix} 6 & 0 & 4 \\ 1 & 8 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6/16 & 0 & 4/16 \\ 1/16 & 8/16 & -2/16 \end{pmatrix}$$ Simplificando las fracciones: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3/8 & 0 & 1/4 \\ 1/16 & 1/2 & -1/8 \end{pmatrix}}$$