Cálculo de integrales: partes y cambio de variable

**a) $\int_0^1 (x + 1)e^{-x} dx$ (1,25 puntos)** La primera integral es una integral definida de un producto de un polinomio por una exponencial. El método más adecuado es la **integración por partes**. Elegimos los elementos siguiendo la regla **ALPES**: - $u = x + 1 \implies du = dx$ - $dv = e^{-x} dx \implies v = \int e^{-x} dx = -e^{-x}$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Aplicamos la fórmula a la integral indefinida primero: $$\int (x+1)e^{-x} dx = (x+1)(-e^{-x}) - \int -e^{-x} dx$$ $$\int (x+1)e^{-x} dx = -(x+1)e^{-x} + \int e^{-x} dx$$ $$\int (x+1)e^{-x} dx = -(x+1)e^{-x} - e^{-x}$$ Simplificamos la expresión factorizando $-e^{-x}$: $$F(x) = -e^{-x}(x + 1 + 1) = -(x + 2)e^{-x}$$ $$\boxed{F(x) = -(x + 2)e^{-x}}$$

Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $0$ y $1$: $$\int_0^1 (x + 1)e^{-x} dx = [-(x+2)e^{-x}]_0^1$$ Evaluamos en el límite superior e inferior: - Para $x = 1$: $F(1) = -(1+2)e^{-1} = -3e^{-1} = -\frac{3}{e}$ - Para $x = 0$: $F(0) = -(0+2)e^0 = -2(1) = -2$ Restamos los valores: $$I = F(1) - F(0) = -\frac{3}{e} - (-2) = 2 - \frac{3}{e}$$ 💡 **Tip:** El número $e^0 = 1$ y $e^{-1} = 1/e$. No olvides el signo menos de la fórmula de Barrow. ✅ **Resultado integral a):** $$\boxed{2 - \dfrac{3}{e} \approx 0.896}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=(x+1)e^{-x}", "color": "#2563eb" }, { "id": "reg", "latex": "0 \\le y \\le f(x) \\{0 \\le x \\le 1\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -0.5, "right": 2, "bottom": -0.5, "top": 1.5 } } }

**b) $\int \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} dx$ (1,25 puntos)** Tal como sugiere el enunciado, aplicamos el cambio de variable $t = \sqrt{x}$. Si $t = \sqrt{x}$, entonces: - $t^2 = x$ - Derivamos respecto a $x$: $2t \, dt = dx$ 💡 **Tip:** Al hacer un cambio de variable, es fundamental sustituir tanto la variable $x$ como el diferencial $dx$.

Sustituimos todos los términos en la integral original: $$\int \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} dx = \int \frac{1}{t(1+t^2)} (2t \, dt)$$ Podemos simplificar la $t$ del numerador con la del denominador: $$\int \frac{2t}{t(1+t^2)} dt = \int \frac{2}{1+t^2} dt$$ Extraemos la constante fuera de la integral: $$2 \int \frac{1}{1+t^2} dt$$ Esta es una integral inmediata del tipo arcotangente: $$2 \arctan(t) + C$$

Para finalizar, debemos expresar el resultado en función de la variable original $x$. Como el cambio inicial fue $t = \sqrt{x}$: $$2 \arctan(\sqrt{x}) + C$$ ✅ **Resultado integral b):** $$\boxed{2 \arctan(\sqrt{x}) + C}$$