Existencia y unicidad de soluciones: Teorema de Bolzano y Monotonía

**a) Demuestra que la ecuación $\text{sen } x - 2x + 1 = 0$ tiene al menos una solución real en el intervalo $[0, \pi]$. (1,5 puntos)** Para demostrar la existencia de al menos una solución, utilizaremos el **Teorema de Bolzano**. Definimos la función asociada a la ecuación: $$f(x) = \text{sen } x - 2x + 1$$ Estudiamos las condiciones del teorema en el intervalo $[0, \pi]$: 1. **Continuidad:** $f(x)$ es una función continua en todo $\mathbb{R}$ (y por tanto en $[0, \pi]$) por ser suma de funciones continuas: una función trigonométrica ($\text{sen } x$), una función polinómica ($-2x$) y una constante ($1$). 2. **Signo en los extremos:** Calculamos el valor de la función en los extremos del intervalo: - En $x = 0$: $$f(0) = \text{sen}(0) - 2(0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1 > 0$$ - En $x = \pi$: $$f(\pi) = \text{sen}(\pi) - 2(\pi) + 1 = 0 - 2\pi + 1 \approx -5.28 < 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar Bolzano la función debe ser continua en $[a, b]$ y cumplir que $f(a) \cdot f(b) < 0$ (signos opuestos).

Como $f(x)$ es continua en $[0, \pi]$ y los signos en los extremos son opuestos ($f(0) > 0$ y $f(\pi) < 0$): Según el **Teorema de Bolzano**, existe al menos un punto $c \in (0, \pi)$ tal que: $$f(c) = 0 \implies \text{sen } c - 2c + 1 = 0$$ Esto demuestra que la ecuación tiene **al menos una solución real** en el intervalo propuesto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe } c \in (0, \pi) \text{ tal que } f(c)=0}$$

**b) Calcula razonadamente el número exacto de soluciones de la ecuación anterior cuando $x \in [-200, 200]$. (1 punto)** Para determinar el número exacto de soluciones, estudiaremos la **monotonía** de la función $f(x) = \text{sen } x - 2x + 1$ mediante su derivada: $$f'(x) = \cos x - 2$$ Analizamos el signo de $f'(x)$: Sabemos que la función coseno está acotada entre $-1$ y $1$ para cualquier valor de $x$: $$-1 \le \cos x \le 1$$ Restando $2$ en todos los términos de la desigualdad: $$-1 - 2 \le \cos x - 2 \le 1 - 2$$ $$-3 \le f'(x) \le -1$$ Como $f'(x)$ es **siempre negativa** ($f'(x) < 0$) para todo $x \in \mathbb{R}$, la función $f(x)$ es **estrictamente decreciente** en todo su dominio. 💡 **Tip:** Si una función es estrictamente monótona (siempre crece o siempre decrece), no puede cortar al eje $X$ más de una vez. Esto suele demostrarse por reducción al absurdo usando el Teorema de Rolle.

Al ser $f(x)$ una función estrictamente decreciente en todo $\mathbb{R}$: 1. La función puede tener, como máximo, **una única raíz real**. 2. En el apartado (a) ya hemos demostrado que existe una solución en el intervalo $[0, \pi]$. 3. Como el intervalo $[0, \pi]$ está contenido dentro del intervalo $[-200, 200]$ (ya que $0 \approx 0$ y $\pi \approx 3.14$), Concluimos que la solución encontrada es la única que existe en todo el dominio real y, por tanto, la única en el intervalo $[-200, 200]$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Número de soluciones} = 1}$$