Probabilidad y Estadística 2019 Castilla la Mancha
Probabilidad de Sucesos y Distribución Binomial
5A. a) Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio cuyas probabilidades son $P(A)=0,75$ y $P(B)=0,35$. Calcula razonadamente las probabilidades que deben asignarse a los sucesos $A \cup B$ y $A \cap B$ en cada uno de los siguientes casos:
a1) Si $A$ y $B$ fuesen independientes. (0,75 puntos)
a2) Si $P(A | B) = 0,6$. (0,5 puntos)
Nota: $P(A | B)$ denota la probabilidad condicionada.
b) El $1\%$ de los cheques que recibe un banco no tienen fondos. Razona la respuesta de las siguientes preguntas:
b1) Si en una hora recibe cinco cheques, ¿cuál es la probabilidad de que tenga algún cheque sin fondos? Redondea el resultado a la centésima. (0,75 puntos)
b2) El banco dispone de cinco sucursales en una ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que al menos tres sucursales de esa ciudad reciban algún cheque sin fondos? (0,5 puntos)
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline n & k & 0,01 & 0,05 & 0,10 & 0,15 & 0,20 & 0,25 & 0,30 & 0,33 & 0,35 & 0,40 & 0,45 & 0,49 & 0,50 \\
\hline 5 & 0 & 0,9510 & 0,7738 & 0,5905 & 0,4437 & 0,3277 & 0,2373 & 0,1681 & 0,1317 & 0,1160 & 0,0778 & 0,0503 & 0,0345 & 0,0313 \\
& 1 & 0,0480 & 0,2036 & 0,3281 & 0,3915 & 0,4096 & 0,3955 & 0,3602 & 0,3292 & 0,3124 & 0,2592 & 0,2059 & 0,1657 & 0,1563 \\
& 2 & 0,0010 & 0,0214 & 0,0729 & 0,1382 & 0,2048 & 0,2637 & 0,3087 & 0,3292 & 0,3364 & 0,3456 & 0,3369 & 0,3185 & 0,3125 \\
& 3 & 0,0000 & 0,0011 & 0,0081 & 0,0244 & 0,0512 & 0,0879 & 0,1323 & 0,1646 & 0,1811 & 0,2304 & 0,2757 & 0,3060 & 0,3125 \\
& 4 & 0,0000 & 0,0000 & 0,0005 & 0,0022 & 0,0064 & 0,0146 & 0,0284 & 0,0412 & 0,0488 & 0,0768 & 0,1128 & 0,1470 & 0,1563 \\
& 5 & 0,0000 & 0,0000 & 0,0000 & 0,0001 & 0,0003 & 0,0010 & 0,0024 & 0,0041 & 0,0053 & 0,0102 & 0,0185 & 0,0282 & 0,0313 \\
\hline
\end{tabular}
Paso 1
Caso de sucesos independientes
**a1) Si $A$ y $B$ fuesen independientes.**
Si dos sucesos $A$ y $B$ son independientes, la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades individuales:
$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$
Sustituyendo los valores dados:
$$P(A \cap B) = 0,75 \cdot 0,35 = 0,2625$$
Ahora, para calcular la probabilidad de la unión, utilizamos la fórmula general:
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
$$P(A \cup B) = 0,75 + 0,35 - 0,2625 = 0,8375$$
💡 **Tip:** Recuerda que la independencia se define como $P(A|B) = P(A)$, lo que implica directamente que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A \cap B) = 0,2625, \quad P(A \cup B) = 0,8375}$$
Paso 2
Caso con probabilidad condicionada
**a2) Si $P(A | B) = 0,6$.**
Partimos de la definición de probabilidad condicionada:
$$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
Despejamos la intersección:
$$P(A \cap B) = P(A | B) \cdot P(B)$$
$$P(A \cap B) = 0,6 \cdot 0,35 = 0,21$$
Calculamos la unión usando de nuevo la fórmula general:
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
$$P(A \cup B) = 0,75 + 0,35 - 0,21 = 0,89$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(A \cap B) = 0,21, \quad P(A \cup B) = 0,89}$$
Paso 3
Probabilidad de algún cheque sin fondos
**b1) Si en una hora recibe cinco cheques, ¿cuál es la probabilidad de que tenga algún cheque sin fondos? Redondea el resultado a la centésima.**
Definimos la variable aleatoria $X$ como el número de cheques sin fondos en una muestra de $n=5$ cheques. Dado que la probabilidad de que un cheque no tenga fondos es constante ($p = 0,01 = 1\%$), $X$ sigue una distribución Binomial:
$$X \sim B(n=5, p=0,01)$$
Nos piden la probabilidad de que haya "algún" cheque sin fondos, es decir, $P(X \ge 1)$. Es más sencillo calcularlo mediante el suceso contrario:
$$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$$
Consultando la tabla de la distribución binomial proporcionada para $n=5, k=0$ y $p=0,01$:
$$P(X = 0) = 0,9510$$
Entonces:
$$P(X \ge 1) = 1 - 0,9510 = 0,049$$
Redondeando a la centésima como pide el enunciado:
$$0,049 \approx 0,05$$
💡 **Tip:** El suceso "al menos uno" o "algún" siempre se resuelve más rápido con $1 - P(\text{ninguno})$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X \ge 1) \approx 0,05}$$
Paso 4
Probabilidad en varias sucursales
**b2) El banco dispone de cinco sucursales en una ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que al menos tres sucursales de esa ciudad reciban algún cheque sin fondos?**
Definimos una nueva variable aleatoria $Y$ como el número de sucursales que reciben algún cheque sin fondos.
Para cada sucursal, la probabilidad de recibir algún cheque sin fondos es la calculada en el apartado anterior. Usaremos el valor redondeado $p' = 0,05$ para poder emplear la tabla.
Tenemos $n=5$ sucursales, por lo que:
$$Y \sim B(n=5, p'=0,05)$$
Nos piden la probabilidad de que al menos tres sucursales cumplan la condición, es decir, $P(Y \ge 3)$:
$$P(Y \ge 3) = P(Y = 3) + P(Y = 4) + P(Y = 5)$$
Buscamos estos valores en la tabla para $n=5$ y $p=0,05$:
- $P(Y = 3) = 0,0011$
- $P(Y = 4) = 0,0000$
- $P(Y = 5) = 0,0000$
Sumamos las probabilidades:
$$P(Y \ge 3) = 0,0011 + 0,0000 + 0,0000 = 0,0011$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(Y \ge 3) = 0,0011}$$