Posición relativa de recta y plano y construcción de plano perpendicular

**a) Determina razonadamente la posición relativa de $r$ y $\pi$. (1,25 puntos)** Primero, identificamos un punto y el vector director de la recta $r$ a partir de su ecuación continua: - Punto $P_r = (1, 0, 0)$ - Vector director $\vec{v}_r = (-1, 1, 2)$ A continuación, obtenemos los vectores directores del plano $\pi$ a partir de sus ecuaciones paramétricas: - $\vec{u} = (1, 1, 2)$ (coeficientes de $\lambda$) - $\vec{w} = (1, -1, 0)$ (coeficientes de $\mu$) 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Para estudiar la posición relativa, es muy útil disponer del vector normal del plano $\pi$, que se obtiene mediante el producto vectorial de sus vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{w}$: $$\vec{n}_\pi = \vec{u} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus (o desarrollo por adjuntos): $$\vec{n}_\pi = [ (1 \cdot 0) - (2 \cdot (-1)) ] \mathbf{i} - [ (1 \cdot 0) - (2 \cdot 1) ] \mathbf{j} + [ (1 \cdot (-1)) - (1 \cdot 1) ] \mathbf{k}$$ $$\vec{n}_\pi = (0 + 2) \mathbf{i} - (0 - 2) \mathbf{j} + (-1 - 1) \mathbf{k} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$$ Podemos simplificar el vector normal usando $\vec{n}_\pi = (1, 1, -1)$. $$\boxed{\vec{n}_\pi = (1, 1, -1)}$$

Para saber si la recta es paralela al plano o lo corta, calculamos el producto escalar entre el vector director de la recta $\vec{v}_r$ y el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (-1, 1, 2) \cdot (1, 1, -1) = (-1)(1) + (1)(1) + (2)(-1) = -1 + 1 - 2 = -2$$ Como $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi \neq 0$, el vector director de la recta no es perpendicular al vector normal del plano. Esto significa que la recta no es paralela al plano ni está contenida en él. Por lo tanto, la recta y el plano son **secantes** (se cortan en un único punto). 💡 **Tip:** Si $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$, la recta es paralela al plano o está contenida. Si $\vec{v} \cdot \vec{n} \neq 0$, son secantes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ y el plano } \pi \text{ son secantes.}}$$

**b) Encuentra razonadamente la ecuación general del plano perpendicular al plano $\pi$ y que contiene a la recta $r$. (1,25 puntos)** Buscamos un plano $\pi'$ que cumpla dos condiciones: 1. **Contiene a la recta $r$:** Por lo tanto, el punto $P_r(1, 0, 0)$ pertenece a $\pi'$ y el vector $\vec{v}_r(-1, 1, 2)$ es un vector director de $\pi'$. 2. **Es perpendicular al plano $\pi$:** Esto implica que el vector normal de $\pi$, $\vec{n}_\pi(1, 1, -1)$, es un vector director de $\pi'$. Entonces, el plano $\pi'$ queda definido por: - Punto: $P(1, 0, 0)$ - Vectores directores: $\vec{v}_1 = (-1, 1, 2)$ y $\vec{v}_2 = (1, 1, -1)$.

La ecuación general del plano se obtiene resolviendo el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$ y los elementos anteriores: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 0 & z - 0 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por Sarrus: $$(x-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - y \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + z \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x-1)(-1 - 2) - y(1 - 2) + z(-1 - 1) = 0$$ $$-3(x-1) - y(-1) + z(-2) = 0$$ $$-3x + 3 + y - 2z = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para obtener una expresión más estética: $$3x - y + 2z - 3 = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de un plano dados un punto $P$ y dos vectores $\vec{u}, \vec{v}$ es $\det(\vec{PX}, \vec{u}, \vec{v}) = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi' \equiv 3x - y + 2z - 3 = 0}$$