Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -(a-2) & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -(a-2) & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -4 \\ 1 & -3 & a & -a^2 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius, calcularemos el determinante de $A$ y buscaremos los valores de $a$ que lo anulan.

Calculamos $|A|$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2-a & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & a \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot (-2) \cdot a] + [(2-a) \cdot 1 \cdot 1] + [(-1) \cdot (-3) \cdot 1] - [(-1) \cdot (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-3) \cdot 1 + a \cdot (2-a) \cdot 1]$$ $$|A| = (-2a) + (2-a) + 3 - (2 - 3 + 2a - a^2)$$ $$|A| = -3a + 5 - (a^2 - 2a - 1) = -3a + 5 - 2a + a^2 + 1 = a^2 - 5a + 6$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$a^2 - 5a + 6 = 0 \implies a = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \implies \begin{cases} a = 3 \\ a = 2 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica si el sistema tiene solución única (si $|A| \neq 0$).

Si $a \neq 2$ y $a \neq 3$, el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En este caso, el rango de $A$ es igual al rango de $A^*$ y es igual al número de incógnitas (3). $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única**.

Si $a = 2$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -4 \\ 1 & -3 & 2 & -4 \end{array}\right)$$ Como $|A| = 0$, el $\text{rango}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$ calculando el determinante de una submatriz de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -4 \\ 1 & -3 & -4 \end{vmatrix} = (8 + 0 - 3) - (-2 + 12 + 0) = 5 - 10 = -5 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rango}(A^*) = 3$. Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**, es decir, **no tiene solución**.

Si $a = 3$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -4 \\ 1 & -3 & 3 & -9 \end{array}\right)$$ Como $|A| = 0$, el $\text{rango}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -2 + 1 = -1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -4 \\ 1 & -3 & -9 \end{vmatrix} = (18 + 4 - 3) - (-2 + 12 + 9) = 19 - 19 = 0$$ Dado que todos los menores de orden 3 en $A^*$ son nulos, $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, lo que significa que tiene **infinitas soluciones**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} a \neq 2, a \neq 3 \implies \text{SCD (Solución única)} \\ a = 2 \implies \text{SI (Sin solución)} \\ a = 3 \implies \text{SCI (Infinitas soluciones)} \end{cases}}$$

**b) Resuélvelo razonadamente para el valor $a = 3$.** Como hemos visto en el apartado anterior, si $a = 3$ el sistema es Compatible Indeterminado con rango 2. Podemos prescindir de una ecuación (la tercera, por ser combinación lineal de las otras) y utilizar un parámetro. El sistema queda: $$\begin{cases} x - y - z = 1 \\ x - 2y + z = -4 \end{cases}$$ Sea $z = \lambda$ con $\lambda \in \mathbb{R}$. Trasponemos el parámetro al término independiente: $$\begin{cases} x - y = 1 + \lambda \\ x - 2y = -4 - \lambda \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación a la primera para eliminar $x$: $$(x - y) - (x - 2y) = (1 + \lambda) - (-4 - \lambda)$$ $$y = 5 + 2\lambda$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$x - (5 + 2\lambda) = 1 + \lambda$$ $$x = 1 + \lambda + 5 + 2\lambda = 6 + 3\lambda$$ 💡 **Tip:** Al resolver un SCI, el número de parámetros necesarios es $n - \text{rango}$, donde $n$ es el número de incógnitas ($3 - 2 = 1$). ✅ **Resultado (Solución para $a=3$):** $$\boxed{\begin{cases} x = 6 + 3\lambda \\ y = 5 + 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$