Área entre curvas y recta tangente

**a) Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = 16 - x^2$ y $g(x) = (x + 2)^2 - 4$. (1,5 puntos)** Para calcular el área encerrada entre dos curvas, lo primero que debemos hacer es hallar los puntos de corte entre ambas funciones para determinar los límites de integración. Igualamos $f(x)$ y $g(x)$: $$16 - x^2 = (x + 2)^2 - 4$$ Desarrollamos el cuadrado del binomio en $g(x)$: $$16 - x^2 = (x^2 + 4x + 4) - 4$$ $$16 - x^2 = x^2 + 4x$$ Agrupamos todos los términos en un miembro para obtener una ecuación de segundo grado: $$2x^2 + 4x - 16 = 0$$ Simplificamos dividiendo entre 2: $$x^2 + 2x - 8 = 0$$ Resolvemos la ecuación: $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$$ Obtenemos los dos puntos de corte: - $x_1 = \frac{4}{2} = 2$ - $x_2 = \frac{-8}{2} = -4$ 💡 **Tip:** Estos valores de $x$ serán los límites de nuestra integral definida.

Para saber qué función está por encima de la otra en el intervalo $(-4, 2)$, evaluamos un punto intermedio, por ejemplo $x = 0$: - $f(0) = 16 - 0^2 = 16$ - $g(0) = (0 + 2)^2 - 4 = 0$ Como $f(0) \gt g(0)$, la función $f(x)$ queda por encima de $g(x)$ en todo el recinto. El área $A$ se calcula como la integral de la diferencia entre la función superior e inferior: $$A = \int_{-4}^{2} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{-4}^{2} [16 - x^2 - (x^2 + 4x)] \, dx$$ $$A = \int_{-4}^{2} (-2x^2 - 4x + 16) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si al integrar obtienes un valor negativo, es probable que hayas restado las funciones en el orden inverso.

Calculamos la primitiva de la función: $$F(x) = \int (-2x^2 - 4x + 16) \, dx = -\frac{2x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + 16x = -\frac{2x^3}{3} - 2x^2 + 16x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ -\frac{2x^3}{3} - 2x^2 + 16x \right]_{-4}^{2}$$ Evaluamos en el límite superior ($x = 2$): $$F(2) = -\frac{2(2)^3}{3} - 2(2)^2 + 16(2) = -\frac{16}{3} - 8 + 32 = -\frac{16}{3} + 24 = \frac{-16 + 72}{3} = \frac{56}{3}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x = -4$): $$F(-4) = -\frac{2(-4)^3}{3} - 2(-4)^2 + 16(-4) = \frac{128}{3} - 32 - 64 = \frac{128}{3} - 96 = \frac{128 - 288}{3} = -\frac{160}{3}$$ Restamos los resultados: $$A = F(2) - F(-4) = \frac{56}{3} - \left( -\frac{160}{3} \right) = \frac{56 + 160}{3} = \frac{216}{3} = 72$$ ✅ **Resultado del área:** $$\boxed{A = 72 \text{ u}^2}$$

A continuación, se muestra la representación gráfica de las dos parábolas y el área encerrada entre ellas calculada en el apartado anterior.

**b) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = 16 - x^2$ en el punto de abscisa $x = 1$. (1 punto)** La ecuación de la recta tangente a una función $f$ en el punto $x = a$ viene dada por la fórmula: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ En este caso, $a = 1$. Necesitamos calcular $f(1)$ y $f'(1)$. 1. Calculamos el valor de la función en el punto: $$f(1) = 16 - (1)^2 = 16 - 1 = 15$$ 2. Calculamos la derivada de la función: $$f'(x) = -2x$$ 3. Calculamos la pendiente de la tangente evaluando la derivada en $x = 1$: $$m = f'(1) = -2(1) = -2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada evaluada en un punto representa la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. Sustituimos en la fórmula de la recta: $$y - 15 = -2(x - 1)$$ Operamos para obtener la ecuación explícita: $$y - 15 = -2x + 2$$ $$y = -2x + 17$$ ✅ **Resultado de la recta tangente:** $$\boxed{y = -2x + 17}$$