Continuidad y Extremos Relativos

**a) Estudia la continuidad en todo $\mathbb{R}$ de la función $f(x) = \frac{2x^3 - x^2 - x}{x^2 - 1}$ indicando los tipos de discontinuidad que aparecen.** La función $f(x)$ es una función racional, por lo que es continua en todo su dominio. El dominio está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Resolvemos $x^2 - 1 = 0$: $$x^2 = 1 \implies x = \pm 1.$$ Por tanto, el dominio es $D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$. La función es continua en $(-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$. Debemos estudiar qué ocurre en los puntos $x = 1$ y $x = -1$. 💡 **Tip:** Las funciones racionales son continuas en todos los puntos donde el denominador no se anula. En los puntos que no pertenecen al dominio, estudiaremos el límite para clasificar la discontinuidad.

Para estudiar la continuidad en $x = 1$, calculamos el límite de la función: $$\lim_{x \to 1} \frac{2x^3 - x^2 - x}{x^2 - 1} = \frac{2(1)^3 - (1)^2 - 1}{1^2 - 1} = \frac{0}{0}.$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $0/0$. Factorizamos numerador y denominador para simplificar: - Denominador: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. - Numerador: $2x^3 - x^2 - x = x(2x^2 - x - 1)$. Buscamos las raíces de $2x^2 - x - 1$: $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4} \implies x_1 = 1, x_2 = -1/2.$$ Así, $2x^3 - x^2 - x = x(x - 1)(2x + 1)$. Calculamos de nuevo el límite: $$\lim_{x \to 1} \frac{x(x - 1)(2x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x(2x + 1)}{x + 1} = \frac{1(2 \cdot 1 + 1)}{1 + 1} = \frac{3}{2}.$$ Como existe el límite y es finito, pero $f(1)$ no está definido: En **$x = 1$** hay una **discontinuidad evitable**. ✅ **Resultado (x=1):** $$\boxed{\text{Discontinuidad evitable en } x = 1}$$

Estudiamos el límite en $x = -1$: $$\lim_{x \to -1} \frac{2x^3 - x^2 - x}{x^2 - 1} = \frac{2(-1)^3 - (-1)^2 - (-1)}{(-1)^2 - 1} = \frac{-2 - 1 + 1}{0} = \frac{-2}{0} = \infty.$$ Calculamos los límites laterales para determinar el comportamiento: $$\lim_{x \to -1^-} \frac{x(2x+1)}{x+1} = \frac{-1(-1)}{0^-} = \frac{1}{0^-} = -\infty.$$ $$\lim_{x \to -1^+} \frac{x(2x+1)}{x+1} = \frac{-1(-1)}{0^+} = \frac{1}{0^+} = +\infty.$$ Como el límite es infinito: En **$x = -1$** hay una **discontinuidad inevitable de salto infinito** (o asíntota vertical). ✅ **Resultado final apartado a):** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}. \text{ En } x = 1 \text{ es evitable y en } x = -1 \text{ es de salto infinito.}}$$

**b) Calcula las coordenadas de los extremos relativos de la función $g(x) = x e^{-x}$.** Para hallar los extremos relativos, primero calculamos la derivada $g'(x)$ usando la regla del producto: $$g'(x) = (x)' \cdot e^{-x} + x \cdot (e^{-x})' = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x} - x e^{-x} = (1 - x)e^{-x}.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(e^{u})' = u' e^u$. Aquí $u = -x$, por lo que $u' = -1$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$(1 - x)e^{-x} = 0.$$ Como la función exponencial $e^{-x}$ nunca es cero ($e^{-x} > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$), la única posibilidad es: $$1 - x = 0 \implies x = 1.$$ El único punto crítico se encuentra en $x = 1$.

Analizamos el signo de $g'(x)$ alrededor de $x = 1$ para determinar si es un máximo o un mínimo: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline 1-x & + & 0 & -\\ e^{-x} & + & + & +\\ \hline g'(x) & + & 0 & -\\ \text{Comportamiento} & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array} $$ Como la función pasa de crecer a decrecer en $x = 1$, existe un **máximo relativo**. Calculamos la coordenada $y$ del punto: $$g(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}.$$ ✅ **Resultado (extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } \left(1, \frac{1}{e}\right)}$$