Probabilidad y Estadística 2019 Castilla la Mancha
Probabilidad de sensores y distribución normal
5B. a) Una alarma de seguridad tiene instalados dos sensores. Ante una emergencia los sensores se activan de forma independiente. La probabilidad de que se active el primer sensor es de $0,98$ y de que se active el segundo es de $0,96$. Calcula razonadamente la probabilidad de que ante una emergencia:
a1) Se active al menos uno de los dos sensores. (0,75 puntos)
a2) Se active solo uno de los sensores. (0,5 puntos)
b) El tiempo, en horas, empleado en realizar cierta intervención quirúrgica sigue una distribución normal $N(10, 2)$. Calcular razonadamente el porcentaje de estas intervenciones que se pueden realizar:
b1) Entre 6,5 y 13 horas. (0,75 puntos)
b2) En menos de siete horas. (0,5 puntos)
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline a & 0,00 & 0,01 & 0,02 & 0,03 & 0,04 & 0,05 & 0,06 & 0,07 & 0,08 & 0,09 \\
\hline 1,5 & 0,9332 & 0,9345 & 0,9357 & 0,9370 & 0,9382 & 0,9394 & 0,9406 & 0,9418 & 0,9429 & 0,9441 \\
1,6 & 0,9452 & 0,9463 & 0,9474 & 0,9484 & 0,9495 & 0,9505 & 0,9515 & 0,9525 & 0,9535 & 0,9545 \\
1,7 & 0,9554 & 0,9564 & 0,9573 & 0,9582 & 0,9591 & 0,9599 & 0,9608 & 0,9616 & 0,9625 & 0,9633 \\
1,8 & 0,9641 & 0,9649 & 0,9656 & 0,9664 & 0,9671 & 0,9678 & 0,9686 & 0,9693 & 0,9699 & 0,9706 \\
1,9 & 0,9713 & 0,9719 & 0,9726 & 0,9732 & 0,9738 & 0,9744 & 0,9750 & 0,9756 & 0,9761 & 0,9767 \\
\hline
\end{tabular}
Paso 1
Definición de sucesos y árbol de probabilidad
**a1) Se active al menos uno de los dos sensores. (0,75 puntos)**
Primero definimos los sucesos para los sensores:
- $S_1$: Se activa el primer sensor. $P(S_1) = 0,98$. Por tanto, $P(\bar{S_1}) = 1 - 0,98 = 0,02$.
- $S_2$: Se activa el segundo sensor. $P(S_2) = 0,96$. Por tanto, $P(\bar{S_2}) = 1 - 0,96 = 0,04$.
Como el enunciado indica que se activan de forma **independiente**, la probabilidad de la intersección es el producto de sus probabilidades:
$P(S_1 \cap S_2) = P(S_1) \cdot P(S_2)$.
Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:
Paso 2
Calcular la probabilidad de que se active al menos uno
Para calcular que se active al menos uno, podemos calcular la probabilidad de la unión $P(S_1 \cup S_2)$ o utilizar el suceso contrario (que no se active ninguno).
**Método 1: Por el suceso contrario**
"Al menos uno" es lo contrario de "ninguno":
$$P(\text{al menos uno}) = 1 - P(\bar{S_1} \cap \bar{S_2})$$
Como son independientes:
$$P(\bar{S_1} \cap \bar{S_2}) = P(\bar{S_1}) \cdot P(\bar{S_2}) = 0,02 \cdot 0,04 = 0,0008$$
Entonces:
$$P(S_1 \cup S_2) = 1 - 0,0008 = 0,9992$$
**Método 2: Fórmula de la unión**
$$P(S_1 \cup S_2) = P(S_1) + P(S_2) - P(S_1 \cap S_2)$$
$$P(S_1 \cup S_2) = 0,98 + 0,96 - (0,98 \cdot 0,96)$$
$$P(S_1 \cup S_2) = 1,94 - 0,9408 = 0,9992$$
💡 **Tip:** El suceso "al menos uno" suele ser más rápido de calcular mediante el suceso complementario $1 - P(\text{ninguno})$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\text{Al menos uno}) = 0,9992}$$
Paso 3
Probabilidad de que se active solo uno
**a2) Se active solo uno de los sensores. (0,5 puntos)**
Este suceso ocurre si se activa el primero y no el segundo, O si se activa el segundo y no el primero. Matemáticamente:
$$P(\text{solo uno}) = P(S_1 \cap \bar{S_2}) + P(\bar{S_1} \cap S_2)$$
Calculamos cada término aprovechando la independencia:
1. $P(S_1 \cap \bar{S_2}) = P(S_1) \cdot P(\bar{S_2}) = 0,98 \cdot 0,04 = 0,0392$
2. $P(\bar{S_1} \cap S_2) = P(\bar{S_1}) \cdot P(S_2) = 0,02 \cdot 0,96 = 0,0192$
Sumamos ambos resultados:
$$P(\text{solo uno}) = 0,0392 + 0,0192 = 0,0584$$
💡 **Tip:** También podrías calcularlo como la probabilidad de la unión menos la probabilidad de la intersección: $P(S_1 \cup S_2) - P(S_1 \cap S_2) = 0,9992 - 0,9408 = 0,0584$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\text{Solo uno}) = 0,0584}$$
Paso 4
Distribución normal: Intervalo de tiempo
**b1) Entre 6,5 y 13 horas. (0,75 puntos)**
Sea $X$ el tiempo de la intervención. Sabemos que $X \sim N(10, 2)$. Queremos calcular $P(6,5 \le X \le 13)$.
Para usar la tabla, tipificamos la variable usando $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$, donde $\mu = 10$ y $\sigma = 2$:
$$P(6,5 \le X \le 13) = P\left( \frac{6,5 - 10}{2} \le Z \le \frac{13 - 10}{2} \right)$$
$$P(6,5 \le X \le 13) = P(-1,75 \le Z \le 1,5)$$
Descomponemos la probabilidad:
$$P(-1,75 \le Z \le 1,5) = P(Z \le 1,5) - P(Z \le -1,75)$$
$$P(-1,75 \le Z \le 1,5) = P(Z \le 1,5) - [1 - P(Z \le 1,75)]$$
Buscamos los valores en la tabla adjunta:
- Para $Z \le 1,50$: Fila 1,5 y columna 0,00 $\rightarrow 0,9332$.
- Para $Z \le 1,75$: Fila 1,7 y columna 0,05 $\rightarrow 0,9599$.
Sustituimos:
$$P = 0,9332 - (1 - 0,9599) = 0,9332 - 0,0401 = 0,8931$$
El porcentaje es $0,8931 \cdot 100 = 89,31\%$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{89,31\%}$$
Paso 5
Distribución normal: Límite superior
**b2) En menos de siete horas. (0,5 puntos)**
Buscamos $P(X \lt 7)$. Tipificamos de nuevo:
$$P(X \lt 7) = P\left( Z \lt \frac{7 - 10}{2} \right) = P(Z \lt -1,5)$$
Por simetría de la normal estándar:
$$P(Z \lt -1,5) = 1 - P(Z \le 1,5)$$
Buscamos en la tabla el valor para $1,50$ (Fila 1,5, Columna 0,00):
$$P(Z \le 1,5) = 0,9332$$
Por tanto:
$$P(X \lt 7) = 1 - 0,9332 = 0,0668$$
Convertimos a porcentaje: $0,0668 \cdot 100 = 6,68\%$.
💡 **Tip:** Recuerda que para valores negativos de $Z$, usamos $P(Z < -a) = 1 - P(Z < a)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{6,68\%}$$