Geometría en el espacio: Distancias e intersecciones

**a) Calcula la distancia del punto $P$ a la recta $r$. (1,25 puntos)** Para calcular la distancia de un punto $P$ a una recta $r$, utilizaremos la fórmula basada en el producto vectorial. Primero, extraemos de la ecuación continua de la recta $r \equiv \frac{x-1}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{2}$ un punto $R$ y su vector director $\vec{v_r}$: - Punto de la recta: $R(1, 0, -1)$ - Vector director: $\vec{v_r} = (3, 1, 2)$ El punto $P$ dado es $P(3, 1, -1)$. 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Calculamos el vector $\vec{RP}$, que va desde el punto de la recta al punto $P$: $$\vec{RP} = P - R = (3-1, 1-0, -1 - (-1)) = (2, 1, 0)$$ Ahora realizamos el producto vectorial $\vec{RP} \times \vec{v_r}$ mediante un determinante: $$\vec{RP} \times \vec{v_r} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus (o desarrollo por filas): $$\vec{RP} \times \vec{v_r} = \vec{i}(1 \cdot 2 - 0 \cdot 1) - \vec{j}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 3) + \vec{k}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 3)$$ $$\vec{RP} \times \vec{v_r} = 2\vec{i} - 4\vec{j} - \vec{k} = (2, -4, -1)$$ 💡 **Tip:** El orden en el producto vectorial no afecta al módulo del resultado final para la distancia, pero es fundamental seguir los signos del determinante.

La fórmula de la distancia de un punto a una recta es: $$d(P, r) = \frac{|\vec{RP} \times \vec{v_r}|}{|\vec{v_r}|}$$ Calculamos los módulos necesarios: - $|\vec{RP} \times \vec{v_r}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21}$ - $|\vec{v_r}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$ Sustituimos en la fórmula: $$d(P, r) = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{21}{14}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, r) = \frac{\sqrt{6}}{2} \approx 1,22 \text{ unidades}}$$

**b) Encuentra razonadamente las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $P$ y por el punto $Q$, siendo $Q$ el punto de corte de la recta $r$ y el plano paralelo a $\pi$ que contiene a $P$. (1,25 puntos)** Sea $\pi' \parallel \pi$ el plano buscado. Como es paralelo a $\pi \equiv 2x + y - z = 0$, su ecuación debe ser de la forma: $$\pi' \equiv 2x + y - z + D = 0$$ Como contiene al punto $P(3, 1, -1)$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$2(3) + 1 - (-1) + D = 0 \implies 6 + 1 + 1 + D = 0 \implies D = -8$$ Por tanto, el plano auxiliar es: $$\pi' \equiv 2x + y - z - 8 = 0$$ 💡 **Tip:** Planos paralelos comparten el mismo vector normal $\vec{n} = (A, B, C)$.

Para hallar el punto $Q = r \cap \pi'$, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 3\lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 + 2\lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi'$: $$2(1 + 3\lambda) + (\lambda) - (-1 + 2\lambda) - 8 = 0$$ $$2 + 6\lambda + \lambda + 1 - 2\lambda - 8 = 0$$ $$5\lambda - 5 = 0 \implies \lambda = 1$$ Sustituimos $\lambda = 1$ en las paramétricas de $r$ para obtener las coordenadas de $Q$: - $x = 1 + 3(1) = 4$ - $y = 1$ - $z = -1 + 2(1) = 1$ Por lo tanto, el punto es **$Q(4, 1, 1)$**.

Finalmente, buscamos la recta $s$ que pasa por $P(3, 1, -1)$ y $Q(4, 1, 1)$. Calculamos su vector director $\vec{v_s}$: $$\vec{v_s} = \vec{PQ} = Q - P = (4 - 3, 1 - 1, 1 - (-1)) = (1, 0, 2)$$ Utilizando el punto $P(3, 1, -1)$ y el vector $\vec{v_s}(1, 0, 2)$, escribimos las ecuaciones paramétricas: ✅ **Resultado:** $$\boxed{s \equiv \begin{cases} x = 3 + \mu \\ y = 1 \\ z = -1 + 2\mu \end{cases} \quad \forall \mu \in \mathbb{R}}$$