Extremos relativos y área entre curvas

**a) Encuentra razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de las funciones $f(x)$ y $g(x)$. (1 punto)** Para hallar los extremos relativos de $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$, calculamos su primera derivada utilizando la regla del cociente o la regla de la cadena: $$f'(x) = \frac{0 \cdot (1+x^2) - 1 \cdot (2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies -2x = 0 \implies x = 0$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ alrededor de $x=0$. Como el denominador $(1+x^2)^2$ siempre es positivo, el signo depende solo del numerador $-2x$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty)\\ \hline -2x & + & 0 & -\\ (1+x^2)^2 & + & + & +\\ \hline f'(x) & + & 0 & - \end{array}$$ Al pasar de positiva (creciente) a negativa (decreciente), existe un **máximo relativo** en $x = 0$. Calculamos su ordenada: $$f(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1$$ ✅ **Extremo de $f(x)$:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (0, 1)}$$

Para la función $g(x) = \frac{x^2}{2}$, procedemos de la misma forma calculando su derivada: $$g'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x = x$$ Igualamos a cero: $$g'(x) = 0 \implies x = 0$$ Analizamos el signo de $g'(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty)\\ \hline g'(x) = x & - & 0 & + \end{array}$$ Al pasar de negativa (decreciente) a positiva (creciente), existe un **mínimo relativo** en $x = 0$. Calculamos su ordenada: $$g(0) = \frac{0^2}{2} = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que un punto sea un extremo relativo, la derivada debe anularse y debe haber un cambio de signo en la misma en dicho punto. ✅ **Extremo de $g(x)$:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (0, 0)}$$

**b) Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de las funciones $f(x)$ y $g(x)$. (1,5 puntos)** Primero, buscamos los puntos de intersección igualando $f(x) = g(x)$: $$\frac{1}{1+x^2} = \frac{x^2}{2} \implies 2 = x^2(1+x^2) \implies x^4 + x^2 - 2 = 0$$ Es una ecuación bicuadrada. Hacemos el cambio $t = x^2$: $$t^2 + t - 2 = 0$$ $$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies t_1 = 1, \; t_2 = -2$$ Como $t = x^2$, descartamos $t = -2$ (no tiene solución real). Para $t=1$: $$x^2 = 1 \implies x = -1, \; x = 1$$ Los límites de integración son $x = -1$ y $x = 1$. 💡 **Tip:** En el intervalo $(-1, 1)$, podemos comprobar cuál es la función superior evaluando en $x=0$: $f(0)=1$ y $g(0)=0$, por lo que $f(x) \ge g(x)$.

El área $A$ viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones: $$A = \int_{-1}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-1}^{1} \left( \frac{1}{1+x^2} - \frac{x^2}{2} \right) dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int \left( \frac{1}{1+x^2} - \frac{x^2}{2} \right) dx = \arctan(x) - \frac{x^3}{6} + C$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A = \left[ \arctan(x) - \frac{x^3}{6} \right]_{-1}^{1}$$ $$A = \left( \arctan(1) - \frac{1^3}{6} \right) - \left( \arctan(-1) - \frac{(-1)^3}{6} \right)$$ $$A = \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} \right) - \left( -\frac{\pi}{4} + \frac{1}{6} \right)$$ $$A = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} + \frac{\pi}{4} - \frac{1}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{2}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3} \approx 1.237 \text{ unidades}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\frac{1}{1+x^2}", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x)=\\frac{x^2}{2}", "color": "#ef4444" }, { "id": "area", "latex": "g(x) \\le y \\le f(x) \\left\\{-1 \\le x \\le 1\\right\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -2.5, "right": 2.5, "bottom": -0.5, "top": 1.5 } } }