Cálculo de límites con la Regla de L'Hôpital

**a) $\lim_{x \to 1} \left( \frac{2e^{x-1}}{x+1} \right)^{\frac{x}{x-1}}$** Primero, evaluamos el límite sustituyendo $x = 1$ para identificar si existe alguna indeterminación: - En la base: $\frac{2e^{1-1}}{1+1} = \frac{2e^0}{2} = \frac{2}{2} = 1$. - En el exponente: $\frac{1}{1-1} = \frac{1}{0} \to \infty$. Estamos ante una indeterminación del tipo **$1^{\infty}$**. Para resolverla, llamamos $L$ al límite y aplicamos logaritmos neperianos: $$\ln L = \lim_{x \to 1} \ln \left[ \left( \frac{2e^{x-1}}{x+1} \right)^{\frac{x}{x-1}} \right]$$ Utilizando las propiedades de los logaritmos ($\ln(a^b) = b \cdot \ln a$): $$\ln L = \lim_{x \to 1} \frac{x}{x-1} \cdot \ln \left( \frac{2e^{x-1}}{x+1} \right) = \lim_{x \to 1} \frac{x \cdot \ln \left( \frac{2e^{x-1}}{x+1} \right)}{x-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para resolver límites con la forma $1^{\infty}$, es muy útil aplicar la propiedad $\ln(\lim f(x)^{g(x)}) = \lim (g(x) \cdot \ln f(x))$.

Al evaluar el límite anterior en $x=1$, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, por lo que aplicamos la **Regla de L'Hôpital**: $$\ln L = \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 1} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$ Donde: - $f(x) = x \cdot [ \ln(2) + (x-1) - \ln(x+1) ]$ - $g(x) = x - 1 \implies g'(x) = 1$ Derivamos el numerador $f(x)$ usando la regla del producto: $$f'(x) = 1 \cdot [ \ln(2) + x - 1 - \ln(x+1) ] + x \cdot \left[ 1 - \frac{1}{x+1} \right]$$ Ahora calculamos el límite de $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ cuando $x \to 1$: $$\ln L = \frac{[ \ln(2) + 1 - 1 - \ln(2) ] + 1 \cdot \left[ 1 - \frac{1}{2} \right]}{1} = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ Finalmente, deshacemos el logaritmo: $$L = e^{1/2} = \sqrt{e}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to 1} \left( \frac{2e^{x-1}}{x+1} \right)^{\frac{x}{x-1}} = \sqrt{e}}$$

**b) $\lim_{x \to -1} \frac{-e^{x^2-1} - x}{x^2 + 4x + 3}$** Evaluamos el límite sustituyendo $x = -1$: - Numerador: $-e^{(-1)^2-1} - (-1) = -e^0 + 1 = -1 + 1 = 0$. - Denominador: $(-1)^2 + 4(-1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$. Obtenemos la indeterminación **$\frac{0}{0}$**. Aplicaremos la **Regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar numerador y denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital es aplicable siempre que tengamos las formas indeterminadas $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ y las funciones sean derivables en el entorno del punto.

Calculamos las derivadas: - Derivada del numerador: $\frac{d}{dx}(-e^{x^2-1} - x) = -e^{x^2-1} \cdot (2x) - 1 = -2x e^{x^2-1} - 1$. - Derivada del denominador: $\frac{d}{dx}(x^2 + 4x + 3) = 2x + 4$. Aplicamos el límite a la nueva fracción: $$\lim_{x \to -1} \frac{-e^{x^2-1} - x}{x^2 + 4x + 3} = \lim_{x \to -1} \frac{-2x e^{x^2-1} - 1}{2x + 4}$$ Sustituimos $x = -1$: $$\frac{-2(-1) e^{(-1)^2-1} - 1}{2(-1) + 4} = \frac{2 e^0 - 1}{-2 + 4} = \frac{2(1) - 1}{2} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to -1} \frac{-e^{x^2-1} - x}{x^2 + 4x + 3} = \frac{1}{2}}$$