Probabilidad y Estadística 2019 Castilla la Mancha
Probabilidad Total, Bayes y Distribución Binomial
5A. a) Una fábrica $A$ produce el $30\%$ de los tractores que se demandan en una Comunidad Autónoma, una fábrica $B$ produce el $20\%$ y la fábrica $C$ el resto. El controlador de calidad sabe que son defectuosos el $4\%$ de los tractores fabricados por $A$, el $10\%$ de los fabricados por $B$ y el $2\%$ de los fabricados por $C$. Elegido un tractor al azar, calcula razonadamente la probabilidad de:
a1) No salga defectuoso. (0,75 puntos)
a2) Si resultó defectuoso, que no fuera fabricado por $C$. (0,5 puntos)
b) En una clase hay 16 chicas y 4 chicos. Cada día elijo a un estudiante al azar para que salga a la pizarra. Calcula razonadamente la probabilidad de que de los cinco días laborables de la semana salgan a la pizarra:
b1) Tres chicas. (0,75 puntos)
b2) Al menos tres chicos. (0,5 puntos)
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline n & k & 0,01 & 0,05 & 0,10 & 0,15 & 0,20 & 0,25 & 0,30 & 0,33 & 0,35 & 0,40 & 0,45 & 0,49 & 0,50 \\
\hline 5 & 0 & 0,9510 & 0,7738 & 0,5905 & 0,4437 & 0,3277 & 0,2373 & 0,1681 & 0,1317 & 0,1160 & 0,0778 & 0,0503 & 0,0345 & 0,0313 \\
& 1 & 0,0480 & 0,2036 & 0,3281 & 0,3915 & 0,4096 & 0,3955 & 0,3602 & 0,3292 & 0,3124 & 0,2592 & 0,2059 & 0,1657 & 0,1563 \\
& 2 & 0,0010 & 0,0214 & 0,0729 & 0,1382 & 0,2048 & 0,2637 & 0,3087 & 0,3292 & 0,3364 & 0,3456 & 0,3369 & 0,3185 & 0,3125 \\
& 3 & 0,0000 & 0,0011 & 0,0081 & 0,0244 & 0,0512 & 0,0879 & 0,1323 & 0,1646 & 0,1811 & 0,2304 & 0,2757 & 0,3060 & 0,3125 \\
& 4 & 0,0000 & 0,0000 & 0,0005 & 0,0022 & 0,0064 & 0,0146 & 0,0284 & 0,0412 & 0,0488 & 0,0768 & 0,1128 & 0,1470 & 0,1563 \\
& 5 & 0,0000 & 0,0000 & 0,0000 & 0,0001 & 0,0003 & 0,0010 & 0,0024 & 0,0041 & 0,0053 & 0,0102 & 0,0185 & 0,0282 & 0,0313 \\
\hline
\end{tabular}
Paso 1
Definición de sucesos y árbol de probabilidad
**a1) No salga defectuoso. (0,75 puntos)**
Primero definimos los sucesos del problema:
- $A$: El tractor es fabricado por la fábrica $A$.
- $B$: El tractor es fabricado por la fábrica $B$.
- $C$: El tractor es fabricado por la fábrica $C$.
- $D$: El tractor es defectuoso.
- $\bar{D}$: El tractor no es defectuoso.
Sabemos que $P(A) = 0,30$ y $P(B) = 0,20$. Como $A, B$ y $C$ cubren toda la producción:
$$P(C) = 1 - (P(A) + P(B)) = 1 - (0,30 + 0,20) = 0,50.$$
Las probabilidades condicionadas dadas son:
$P(D|A) = 0,04$, $P(D|B) = 0,10$ y $P(D|C) = 0,02$.
Representamos la situación en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de no defectuoso
Para hallar $P(\bar{D})$, calculamos primero la probabilidad de que sea defectuoso $P(D)$ usando el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(D) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) + P(C) \cdot P(D|C)$$
$$P(D) = 0,30 \cdot 0,04 + 0,20 \cdot 0,10 + 0,50 \cdot 0,02$$
$$P(D) = 0,012 + 0,02 + 0,01 = 0,042$$
Ahora, la probabilidad de que no sea defectuoso es el suceso contrario:
$$P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0,042 = 0,958$$
💡 **Tip:** También se podría calcular directamente como $P(\bar{D}) = 0,30 \cdot 0,96 + 0,20 \cdot 0,90 + 0,50 \cdot 0,98$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{D}) = 0,958}$$
Paso 3
Cálculo de probabilidad condicionada (Bayes)
**a2) Si resultó defectuoso, que no fuera fabricado por $C$. (0,5 puntos)**
Nos piden la probabilidad de que el tractor sea de la fábrica $A$ o $B$, sabiendo que es defectuoso. Esto es $P(\bar{C}|D)$.
Por la propiedad del complementario en probabilidades condicionadas:
$$P(\bar{C}|D) = 1 - P(C|D)$$
Calculamos $P(C|D)$ usando el **Teorema de Bayes**:
$$P(C|D) = \frac{P(C) \cdot P(D|C)}{P(D)} = \frac{0,50 \cdot 0,02}{0,042} = \frac{0,01}{0,042} = \frac{10}{42} = \frac{5}{21}$$
Entonces:
$$P(\bar{C}|D) = 1 - \frac{5}{21} = \frac{16}{21} \approx 0,7619$$
💡 **Tip:** El suceso "no fabricado por C" es equivalente a "fabricado por A o fabricado por B". Podrías sumar $P(A|D) + P(B|D)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{C}|D) = \frac{16}{21} \approx 0,7619}$$
Paso 4
Identificación de la distribución binomial
**b) En una clase hay 16 chicas y 4 chicos. Cada día elijo a un estudiante al azar para que salga a la pizarra. Calcula razonadamente la probabilidad de que de los cinco días laborables de la semana salgan a la pizarra: b1) Tres chicas. (0,75 puntos)**
Estamos ante un experimento de Bernouilli que se repite $n=5$ veces (los cinco días de la semana). Como cada día se elige al azar de la misma clase, las probabilidades se mantienen constantes (muestreo con reemplazamiento implícito).
Definimos la variable $X$: "Número de chicas que salen a la pizarra en 5 días".
Los parámetros son:
- $n = 5$
- $p = P(\text{Chica}) = \frac{16}{16+4} = \frac{16}{20} = 0,8$
- $q = 1 - p = 0,2$
Entonces, $X \sim B(5, 0,8)$.
Sin embargo, la tabla proporcionada solo llega hasta $p=0,50$. Usaremos la variable complementaria $Y$: "Número de chicos que salen a la pizarra", donde $Y \sim B(5, 0,2)$.
Si salen 3 chicas, significa que salen $5-3 = 2$ chicos.
$$P(X=3) = P(Y=2)$$
Buscamos en la tabla para $n=5$, $k=2$ y $p=0,20$:
$$P(Y=2) = 0,2048$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X=3) = 0,2048}$$
Paso 5
Probabilidad de al menos tres chicos
**b2) Al menos tres chicos. (0,5 puntos)**
Usamos la variable $Y \sim B(5, 0,2)$ definida en el paso anterior, que representa el número de chicos.
Nos piden la probabilidad de que $Y$ sea como mínimo 3:
$$P(Y \ge 3) = P(Y=3) + P(Y=4) + P(Y=5)$$
Consultamos los valores en la tabla para $n=5$ y $p=0,20$:
- Para $k=3 \implies 0,0512$
- Para $k=4 \implies 0,0064$
- Para $k=5 \implies 0,0003$
Sumamos los valores:
$$P(Y \ge 3) = 0,0512 + 0,0064 + 0,0003 = 0,0579$$
💡 **Tip:** "Al menos 3" incluye el 3, el 4 y el 5. Siempre verifica si es más corto calcular el suceso complementario, en este caso $1 - P(Y < 3)$ implicaría sumar $k=0, 1, 2$, que son también 3 términos.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(Y \ge 3) = 0,0579}$$