Geometría en el espacio: Plano paralelo a una recta y volumen de un tetraedro

**a) Encuentra razonadamente la ecuación general del plano que contiene a la recta que pasa por $A$ y $B$ y es paralelo a la recta que pasa por $C$ y $D$. (1,25 puntos)** Para determinar la ecuación de un plano $\pi$, necesitamos un punto contenido en él y dos vectores directores que definan su orientación. 1. El plano contiene a la recta que pasa por $A$ y $B$. Por tanto, el punto $A(1, 2, 0)$ está en el plano y el vector $\vec{AB}$ es un vector director del plano: $$\vec{v}_1 = \vec{AB} = B - A = (0-1, -1-2, 2-0) = (-1, -3, 2)$$ 2. El plano es paralelo a la recta que pasa por $C$ y $D$. Por tanto, el vector $\vec{CD}$ es el segundo vector director del plano: $$\vec{v}_2 = \vec{CD} = D - C = (1-2, 0-(-1), 1-3) = (-1, 1, -2)$$ 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto $P$ y dos vectores no paralelos $\vec{u}$ y $\vec{v}$. Si el plano contiene a una recta, usa su vector director; si es paralelo a otra, usa también el director de esa otra.

El vector normal $\vec{n}$ al plano se obtiene mediante el producto vectorial de sus dos vectores directores $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$: $$\vec{n} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -3 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por la regla de Sarrus o por adjuntos de la primera fila: $$\vec{n} = \vec{i} \cdot [(-3)(-2) - (2)(1)] - \vec{j} \cdot [(-1)(-2) - (2)(-1)] + \vec{k} \cdot [(-1)(1) - (-3)(-1)]$$ $$\vec{n} = \vec{i}(6 - 2) - \vec{j}(2 + 2) + \vec{k}(-1 - 3)$$ $$\vec{n} = 4\vec{i} - 4\vec{j} - 4\vec{k} = (4, -4, -4)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por $4$ para trabajar con números más sencillos: $\vec{n} = (1, -1, -1)$. 💡 **Tip:** El producto vectorial produce un vector perpendicular a los dos vectores originales, ideal para hallar la normal de un plano.

La ecuación general de un plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal. Sustituyendo $\vec{n} = (1, -1, -1)$: $$1x - 1y - 1z + D = 0 \implies x - y - z + D = 0$$ Como el plano contiene al punto $A(1, 2, 0)$, este debe satisfacer la ecuación: $$1 - 2 - 0 + D = 0 \implies -1 + D = 0 \implies D = 1$$ Por tanto, la ecuación general del plano es: $$\boxed{x - y - z + 1 = 0}$$

**b) Calcula razonadamente el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos $A, B, C$ y $D$. (1,25 puntos)** El volumen de un tetraedro con vértices $A, B, C$ y $D$ es igual a un sexto del valor absoluto del producto mixto de los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$$ 💡 **Tip:** El producto mixto de tres vectores coincide con el determinante de la matriz formada por sus componentes y representa el volumen del paralelepípedo que forman. El tetraedro ocupa exactamente $1/6$ de ese volumen.

Calculamos los vectores que parten del vértice $A$: - $\vec{AB} = (0-1, -1-2, 2-0) = (-1, -3, 2)$ - $\vec{AC} = (2-1, -1-2, 3-0) = (1, -3, 3)$ - $\vec{AD} = (1-1, 0-2, 1-0) = (0, -2, 1)$

Calculamos el determinante formado por los tres vectores mediante la regla de Sarrus: $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \begin{vmatrix} -1 & -3 & 2 \\ 1 & -3 & 3 \\ 0 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos: $$Det = [(-1)(-3)(1) + (-3)(3)(0) + (2)(1)(-2)] - [(0)(-3)(2) + (-2)(3)(-1) + (1)(1)(-3)]$$ $$Det = [3 + 0 - 4] - [0 + 6 - 3]$$ $$Det = [-1] - [3] = -4$$ El valor absoluto del producto mixto es $|-4| = 4$.

Aplicamos la fórmula del volumen: $$V = \frac{1}{6} \cdot 4 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \text{ unidades}^3$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{V = \frac{2}{3} \text{ u}^3 \approx 0,67 \text{ u}^3}$$