Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$** Primero, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} a & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -a & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} a & 2 & 0 & a^2 \\ -1 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & -a & -1 & -(4+a) \end{array} \right)$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -a & -1 \end{vmatrix} = [a \cdot 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) \cdot (-a)] - [0 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) \cdot (-1) + a \cdot 1 \cdot (-a)]$$ $$|A| = [-a + 2 + 0] - [0 + 2 - a^2] = -a + 2 - 2 + a^2 = a^2 - a$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$a^2 - a = 0 \implies a(a - 1) = 0 \implies a = 0, \quad a = 1$$ 💡 **Tip:** El estudio de un sistema con parámetros suele comenzar calculando el determinante de la matriz de coeficientes para identificar cuándo el sistema es compatible determinado.

Si $a \neq 0$ y $a \neq 1$, entonces el determinante $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n^{\circ} \text{ incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única** para cada valor de $a$ distinto de 0 y 1. ✅ **Resultado (Caso 1):** $$\boxed{\text{Si } a \neq 0, 1 \implies \text{Sistema Compatible Determinado}}$$

Para $a = 0$, sustituimos en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & 0 & -1 & -4 \end{array} \right)$$ Como $|A| = 0$, el $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ tomando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 5 \\ 0 & -1 & -4 \end{vmatrix} = 2 \cdot [1 \cdot (-4) - 5 \cdot (-1)] = 2 \cdot (-4 + 5) = 2 \neq 0$$ Como $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 3$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado (Caso 2):** $$\boxed{\text{Si } a = 0 \implies \text{Sistema Incompatible}}$$

Para $a = 1$, sustituimos en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & -1 & -1 & -5 \end{array} \right)$$ Como $|A| = 0$, el $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-2) = 3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Observamos las filas de $A^*$. La tercera fila $F_3$ es exactamente la segunda fila $F_2$ multiplicada por $-1$ ($F_3 = -F_2$). Esto significa que cualquier determinante de orden 3 en $A^*$ será 0. Por tanto, $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 \lt 3$ ($n^{\circ}$ de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, con infinitas soluciones. ✅ **Resultado (Caso 3):** $$\boxed{\text{Si } a = 1 \implies \text{Sistema Compatible Indeterminado}}$$

**b) Resuélvelo razonadamente para el valor $a = 1$. (1 punto)** Como hemos visto, para $a = 1$ el sistema es compatible indeterminado. Eliminamos la tercera ecuación por ser dependiente ($F_3 = -F_2$): $$\begin{cases} x + 2y = 1 \\ -x + y + z = 5 \end{cases}$$ Como el rango es 2, dejamos 2 incógnitas en función de una tercera que actuará como parámetro. Sea $y = \lambda$: 1. De la primera ecuación: $$x = 1 - 2y \implies x = 1 - 2\lambda$$ 2. De la segunda ecuación sustituimos $x$ e $y$ para hallar $z$: $$-(1 - 2\lambda) + \lambda + z = 5$$ $$-1 + 2\lambda + \lambda + z = 5$$ $$z = 5 + 1 - 3\lambda = 6 - 3\lambda$$ La solución general es el conjunto de puntos $(x, y, z)$ tales que: $$\boxed{(x, y, z) = (1 - 2\lambda, \lambda, 6 - 3\lambda) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$ 💡 **Tip:** Al resolver un SCI, siempre asegúrate de expresar todas las variables en función del mismo parámetro (o parámetros, según los grados de libertad).