Área de recintos y recta normal

**a) Calcula razonadamente el área de los recintos limitados por la función $g(x) = -x^2 + 2x + 3$, la recta $x = -2$ y el eje de abscisas. (1,5 puntos)** Para determinar los recintos, primero debemos hallar los puntos donde la función corta al eje $OX$ (eje de abscisas), resolviendo $g(x) = 0$: $$-x^2 + 2x + 3 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para facilitar el cálculo: $x^2 - 2x - 3 = 0$. Usamos la fórmula general: $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: - $x_1 = \frac{2+4}{2} = 3$ - $x_2 = \frac{2-4}{2} = -1$ Los puntos de corte son $x = -1$ y $x = 3$. Como el enunciado incluye la recta vertical $x = -2$, los intervalos de integración para definir los recintos serán $[-2, -1]$ y $[-1, 3]$. 💡 **Tip:** Los recintos de área siempre están delimitados por las raíces de la función o por rectas verticales dadas en el enunciado.

Antes de aplicar la regla de Barrow, calculamos la primitiva de la función: $$G(x) = \int (-x^2 + 2x + 3) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 3x = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x + C$$ Evaluaremos esta función en los límites de integración para hallar las áreas de cada recinto.

Calculamos el área en los dos intervalos determinados: **Recinto 1: entre $x = -2$ y $x = -1$** $$A_1 = \left| \int_{-2}^{-1} (-x^2 + 2x + 3) \, dx \right| = |[G(x)]_{-2}^{-1}|$$ $$G(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 = \frac{1}{3} - 2 = -\frac{5}{3}$$ $$G(-2) = -\frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 + 3(-2) = \frac{8}{3} + 4 - 6 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}$$ $$A_1 = \left| -\frac{5}{3} - \frac{2}{3} \right| = \left| -\frac{7}{3} \right| = \frac{7}{3} \text{ u}^2$$ **Recinto 2: entre $x = -1$ y $x = 3$** $$A_2 = \left| \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx \right| = |[G(x)]_{-1}^{3}|$$ $$G(3) = -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3(3) = -9 + 9 + 9 = 9$$ $$A_2 = \left| 9 - \left(-\frac{5}{3}\right) \right| = \left| 9 + \frac{5}{3} \right| = \frac{32}{3} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** El área siempre es un valor positivo, por lo que usamos valores absolutos en cada recinto.

Sumamos las áreas de ambos recintos para obtener el área total: $$A_{total} = A_1 + A_2 = \frac{7}{3} + \frac{32}{3} = \frac{39}{3} = 13 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = 13 \text{ unidades cuadradas}}$$

**b) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $g(x)$ en el punto de abscisa $x = 4$. (1 punto)** Primero, calculamos la ordenada del punto en $x = 4$: $$y_0 = g(4) = -(4)^2 + 2(4) + 3 = -16 + 8 + 3 = -5$$ El punto de tangencia es **$(4, -5)$**. Calculamos la derivada de $g(x)$ para obtener la pendiente de la recta tangente ($m_t$): $$g'(x) = -2x + 2$$ $$m_t = g'(4) = -2(4) + 2 = -6$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta normal ($m_n$) es la opuesta de la inversa de la pendiente de la tangente: $m_n = -\frac{1}{m_t}$.

La pendiente de la normal es: $$m_n = -\frac{1}{-6} = \frac{1}{6}$$ Usamos la ecuación punto-pendiente $y - y_0 = m_n(x - x_0)$: $$y - (-5) = \frac{1}{6}(x - 4)$$ $$y + 5 = \frac{1}{6}x - \frac{4}{6}$$ $$y = \frac{1}{6}x - \frac{2}{3} - 5$$ $$y = \frac{1}{6}x - \frac{2}{3} - \frac{15}{3} = \frac{1}{6}x - \frac{17}{3}$$ ✅ **Resultado (Recta normal):** $$\boxed{y = \frac{1}{6}x - \frac{17}{3}}$$