Derivabilidad de funciones a trozos y Teorema de Rolle

**a) Determina el valor de $a$ y de $b$ para que la siguiente función $f(x)$ sea derivable en todo $\mathbb{R}$** Para que una función sea derivable en todo $\mathbb{R}$, primero debe ser continua en todo su dominio. Las ramas de la función son polinómicas y radicales/racionales, que son continuas en sus respectivos dominios. El único punto problemático es el salto entre ramas en $x=1$. Para que $f(x)$ sea continua en $x=1$, se debe cumplir que: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$$ Calculamos los límites laterales: - Por la izquierda ($x \le 1$): $$\lim_{x \to 1^-} (ax^2 + bx + 2) = a(1)^2 + b(1) + 2 = a + b + 2$$ - Por la derecha ($x > 1$): $$\lim_{x \to 1^+} \left(a\sqrt{x} - \frac{b}{x^2}\right) = a\sqrt{1} - \frac{b}{1^2} = a - b$$ Igualamos ambos resultados: $$a + b + 2 = a - b \implies b + 2 = -b \implies 2b = -2 \implies b = -1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad. Si una función no es continua en un punto, es imposible que sea derivable en él. $$\boxed{b = -1}$$

Una vez garantizada la continuidad con $b=-1$, estudiamos la derivabilidad igualando las derivadas laterales en $x=1$. Primero, derivamos las ramas de la función para $x \neq 1$: $$f'(x) = \begin{cases} 2ax + b & \text{si } x < 1 \\ \frac{a}{2\sqrt{x}} + \frac{2b}{x^3} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x=1$, debe cumplirse: $$\lim_{x \to 1^-} f'(x) = \lim_{x \to 1^+} f'(x)$$ - Derivada lateral izquierda: $$f'(1^-) = 2a(1) + b = 2a + b$$ - Derivada lateral derecha: $$f'(1^+) = \frac{a}{2\sqrt{1}} + \frac{2b}{1^3} = \frac{a}{2} + 2b$$ Igualamos las derivadas: $$2a + b = \frac{a}{2} + 2b \implies 2a - \frac{a}{2} = 2b - b \implies \frac{3a}{2} = b$$ 💡 **Tip:** Para derivar la segunda rama, recuerda que $\frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ y que $\frac{d}{dx}(\frac{1}{x^2}) = \frac{d}{dx}(x^{-2}) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

Utilizamos el valor de $b$ obtenido en el paso 1 y lo sustituimos en la ecuación de la derivabilidad: Como $b = -1$ y $\frac{3a}{2} = b$: $$\frac{3a}{2} = -1 \implies 3a = -2 \implies a = -\frac{2}{3}$$ Por tanto, los valores necesarios para que la función sea derivable en todo $\mathbb{R}$ son: ✅ **Resultado final del apartado a):** $$\boxed{a = -\frac{2}{3}, \quad b = -1}$$

**b) Comprueba si la función $f(x) = x^2 - 4$ verifica las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[-3, 3]$.** El teorema de Rolle establece que si una función $f(x)$ cumple tres condiciones en un intervalo $[k, p]$, existe al menos un punto $c \in (k, p)$ tal que $f'(c) = 0$. Las hipótesis son: 1. **Continuidad en $[ -3, 3]$**: $f(x) = x^2 - 4$ es una función polinómica. Al ser un polinomio, es continua en todo $\mathbb{R}$, y por lo tanto, es **continua en el intervalo cerrado $[-3, 3]$**. 2. **Derivabilidad en $(-3, 3)$**: La derivada es $f'(x) = 2x$. Al ser una función polinómica, es derivable en todo $\mathbb{R}$, y por lo tanto, es **derivable en el intervalo abierto $(-3, 3)$**. 3. **Igualdad de los valores en los extremos**: Calculamos el valor de la función en $x = -3$ y $x = 3$: - $f(-3) = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$ - $f(3) = (3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$ Como $f(-3) = f(3) = 5$, se cumple la tercera condición. 💡 **Tip:** El teorema de Rolle es un caso particular del Teorema del Valor Medio donde la pendiente de la secante que une los extremos es cero. ✅ **Resultado final del apartado b):** $$\boxed{\text{La función verifica las 3 hipótesis del teorema de Rolle en } [-3, 3]}$$ Como consecuencia, existe un $c \in (-3, 3)$ tal que $f'(c) = 0$. En este caso, $2c = 0 \implies c = 0$, que efectivamente pertenece al intervalo.