Probabilidad y Estadística 2019 Castilla y Leon
Probabilidad total y Teorema de Bayes en tiro olímpico
E5.- En una competición de tiro olímpico hay 10 rifles, 4 con visor telescópico y 6 sin él. La probabilidad de que un tirador haga blanco con un rifle con visor telescópico es 0,95 y sin él es de 0,65.
a) Halla la probabilidad de hacer blanco escogiendo un rifle al azar. (1 punto)
b) Si el tirador hace blanco. ¿Es más probable que haya disparado con un rifle con visor telescópico o sin él? (1 punto)
Paso 1
Definición de eventos y diagrama de árbol
Para resolver este problema, primero definimos los sucesos que intervienen en el experimento:
* $V$: Escoger un rifle con visor telescópico.
* $S$: Escoger un rifle sin visor telescópico.
* $B$: El tirador hace blanco.
* $\bar{B}$: El tirador no hace blanco.
A partir del enunciado, extraemos las probabilidades:
* $P(V) = \dfrac{4}{10} = 0,4$
* $P(S) = \dfrac{6}{10} = 0,6$
* $P(B|V) = 0,95$ (Probabilidad de hacer blanco dado que tiene visor)
* $P(B|S) = 0,65$ (Probabilidad de hacer blanco dado que no tiene visor)
Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total de hacer blanco
**a) Halla la probabilidad de hacer blanco escogiendo un rifle al azar. (1 punto)**
Para calcular la probabilidad de que el tirador haga blanco, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este suceso puede ocurrir de dos formas: que use un rifle con visor y acierte, o que use un rifle sin visor y acierte.
$$P(B) = P(V) \cdot P(B|V) + P(S) \cdot P(B|S)$$
Sustituimos los valores obtenidos en el paso anterior:
$$P(B) = 0,4 \cdot 0,95 + 0,6 \cdot 0,65$$
$$P(B) = 0,38 + 0,39 = 0,77$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que conducen al éxito ($B$) nos da la probabilidad total.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(B) = 0,77}$$
Paso 3
Comparación de probabilidades a posteriori (Teorema de Bayes)
**b) Si el tirador hace blanco. ¿Es más probable que haya disparado con un rifle con visor telescópico o sin él? (1 punto)**
Estamos ante una probabilidad condicionada. Sabemos que el tirador ha hecho blanco (suceso $B$) y queremos comparar $P(V|B)$ frente a $P(S|B)$. Usamos el **Teorema de Bayes**.
1. **Probabilidad de que usara visor habiendo hecho blanco:**
$$P(V|B) = \frac{P(V \cap B)}{P(B)} = \frac{P(V) \cdot P(B|V)}{P(B)}$$
$$P(V|B) = \frac{0,38}{0,77} \approx 0,4935$$
2. **Probabilidad de que no usara visor habiendo hecho blanco:**
$$P(S|B) = \frac{P(S \cap B)}{P(B)} = \frac{P(S) \cdot P(B|S)}{P(B)}$$
$$P(S|B) = \frac{0,39}{0,77} \approx 0,5065$$
Comparando ambos resultados: $0,5065 > 0,4935$.
💡 **Tip:** No es necesario calcular los valores decimales exactos para comparar; basta con mirar el numerador. Como $P(S \cap B) = 0,39$ es mayor que $P(V \cap B) = 0,38$, la probabilidad de que no tuviera visor es mayor.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Es más probable que haya disparado con un rifle sin visor telescópico (S)}}$$