Cálculo de área e indeterminación de límites

**a) Sea $f(x) = \frac{2x+3}{x^2+3x+1}$. Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$ y $x = 2$. (1 punto)** El área de un recinto limitado por una función, el eje $OX$ y dos rectas verticales se calcula mediante la integral definida. Primero comprobamos si la función cambia de signo o tiene discontinuidades en el intervalo $[0, 2]$. 1. **Continuidad:** El denominador $x^2+3x+1 = 0$ tiene raíces en $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ (aproximadamente $-0,38$ y $-2,61$). Ambos puntos están fuera del intervalo $[0, 2]$, por lo que la función es continua en dicho intervalo. 2. **Signo:** Como no hay raíces del numerador ($2x+3=0 \Rightarrow x=-1,5$) ni del denominador en $[0, 2]$, la función mantiene un signo constante. Evaluando $f(0) = 3$, vemos que $f(x) \gt 0$ en todo el intervalo. Por tanto, el área $A$ es: $$A = \int_{0}^{2} \frac{2x+3}{x^2+3x+1} dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una función es positiva en el intervalo $[a,b]$, el área coincide con el valor de la integral definida $\int_{a}^{b} f(x)dx$.

Observamos que el numerador $2x+3$ es exactamente la derivada del denominador $(x^2+3x+1)' = 2x+3$. Esto nos indica que estamos ante una integral de tipo logarítmico. $$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C$$ Aplicamos la primitiva y evaluamos mediante la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ \ln|x^2+3x+1| \right]_{0}^{2}$$ $$A = \ln|2^2 + 3(2) + 1| - \ln|0^2 + 3(0) + 1|$$ $$A = \ln|4+6+1| - \ln|1|$$ $$A = \ln(11) - 0 = \ln(11)$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = \ln(11) \approx 2,398 \text{ u}^2}$$

**b) Calcular $\lim_{x \to 0} \frac{x \text{ sen}(x)}{3 \cos(x)-3}$. (1 punto)** Primero evaluamos el límite de forma directa sustituyendo $x=0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{x \text{ sen}(x)}{3 \cos(x)-3} = \frac{0 \cdot \text{sen}(0)}{3 \cos(0)-3} = \frac{0}{3(1)-3} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Para resolverla, aplicaremos la **Regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** Antes de aplicar L'Hôpital, asegúrate siempre de que el límite presenta una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Derivamos el numerador $u(x) = x \text{ sen}(x)$ usando la regla del producto: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. $$[x \text{ sen}(x)]' = 1 \cdot \text{sen}(x) + x \cos(x) = \text{sen}(x) + x \cos(x)$$ Derivamos el denominador $v(x) = 3 \cos(x)-3$: $$[3 \cos(x)-3]' = -3 \text{ sen}(x)$$ Aplicamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{x \text{ sen}(x)}{3 \cos(x)-3} = \lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(x) + x \cos(x)}{-3 \text{ sen}(x)}$$ Evaluamos de nuevo sustituyendo $x=0$: $$\frac{\text{sen}(0) + 0 \cos(0)}{-3 \text{ sen}(0)} = \frac{0 + 0}{0} = \frac{0}{0}$$ Como persiste la indeterminación, aplicamos la Regla de L'Hôpital por segunda vez.

Derivamos de nuevo el numerador: $$[\text{sen}(x) + x \cos(x)]' = \cos(x) + (1 \cdot \cos(x) + x \cdot (-\text{sen}(x))) = 2 \cos(x) - x \text{ sen}(x)$$ Derivamos de nuevo el denominador: $$[-3 \text{ sen}(x)]' = -3 \cos(x)$$ Calculamos el límite resultante: $$\lim_{x \to 0} \frac{2 \cos(x) - x \text{ sen}(x)}{-3 \cos(x)} = \frac{2 \cos(0) - 0 \text{ sen}(0)}{-3 \cos(0)}$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{2(1) - 0}{-3(1)} = -\frac{2}{3}$$ ✅ **Resultado (Límite):** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{x \text{ sen}(x)}{3 \cos(x)-3} = -\frac{2}{3}}$$