Cálculo de parámetros de un polinomio de tercer grado

**E3.- Sea el polinomio $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ del cual sabemos que $f(0) = 1, f(1) = 0$ y que tiene extremos relativos en $x = 0$ y $x = 1$. Calcular $a, b, c$ y $d$. (2 puntos)** Para resolver este ejercicio, debemos traducir la información del enunciado en un sistema de ecuaciones para las incógnitas $a, b, c$ y $d$. Las condiciones son: 1. Pasa por el punto $(0, 1)$: $f(0) = 1$ 2. Pasa por el punto $(1, 0)$: $f(1) = 0$ 3. Tiene un extremo relativo en $x = 0$: $f'(0) = 0$ 4. Tiene un extremo relativo en $x = 1$: $f'(1) = 0$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una función derivable tiene un extremo relativo (máximo o mínimo) en un punto $x_0$, entonces su derivada primera en ese punto es cero: $f'(x_0) = 0$.

Para aplicar las condiciones de los extremos relativos, calculamos la derivada del polinomio $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$: $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ 💡 **Tip:** Aplicamos la regla de derivación para potencias $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ y la linealidad de la derivada.

Utilizamos las condiciones en $x = 0$ para simplificar el problema rápidamente: - De $f(0) = 1$: $$a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 1 \implies d = 1$$ - De $f'(0) = 0$: $$3a(0)^2 + 2b(0) + c = 0 \implies c = 0$$ Ya tenemos dos de los cuatro parámetros: $$\boxed{c = 0, \quad d = 1}$$

Ahora utilizamos las condiciones en $x = 1$ sustituyendo ya los valores conocidos de $c$ y $d$: - De $f(1) = 0$: $$a(1)^3 + b(1)^2 + 0(1) + 1 = 0 \implies a + b + 1 = 0 \implies a + b = -1$$ - De $f'(1) = 0$: $$3a(1)^2 + 2b(1) + 0 = 0 \implies 3a + 2b = 0$$ Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} a + b = -1 \\ 3a + 2b = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Este sistema se puede resolver por sustitución, igualación o reducción.

Resolvemos el sistema por sustitución. Despejamos $b$ de la primera ecuación: $$b = -1 - a$$ Sustituimos en la segunda ecuación: $$3a + 2(-1 - a) = 0$$ $$3a - 2 - 2a = 0$$ $$a = 2$$ Calculamos $b$: $$b = -1 - 2 = -3$$ Por tanto, los valores de los parámetros son: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 2, \quad b = -3, \quad c = 0, \quad d = 1}$$ El polinomio buscado es $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$.